Correttezza svolgimento integrale

[Marco Beta2]

Salve a tutti, vorrei sottoporre alla vostra attenzione il mio integrale per capire se ho svolto correttamente tutti i passaggi per tra me, il libro e wolfram/symbolab ho 3 risultati diversi e solo quello del libro ritorna all'integrale di partenza Un mio amico mi ha detto che il procedimento è corretto e sono solo modi diversi di affrontare il problema...

$ int 1/(tg^3 x * cos^2 x) dx = int 1/(((sen^3 x)/ (cos^3 x))*cos^2 x) dx = int cos x/ (sen^3 x) dx = int cos x * sen ^-3 x dx =
(sen^(-3+1) x)/(-3+1 ) = -1/2 sen^-2 x + c$

Attendo vostri feedback.
Grazie

[gugo82]

Questo è un integrale immediato: infatti, $1/(cos^2 x)$ è la derivata di $tan x$...

[Marco Beta2]

"gugo82":Questo è un integrale immediato: infatti, $1/(cos^2 x)$ è la derivata di $tan x$...

ciao e grazie per la risposta... vero la cosa mi era sfuggita però io quel coseno l'ho semplificato con l'altro... strada alternativa o procedimento errato?

[pilloeffe]

Ciao Marco Beta2,

E' corretta anche la tua soluzione, basta che tieni conto che si ha:

$ -1/2 sin^-2 x + c = - \frac{1}{2sin^2 x} + c = - \frac{sin^2 x + cos^2 x}{2sin^2 x} + c = - 1/2 (1 + cot^2 x) + c = $
$ = - 1/2 cot^2 x + C = - 1/(2 tan^2 x) + C $

che probabilmente sono i $3 $ risultati diversi che hai visto...

[Marco Beta2]

"pilloeffe":Ciao Marco Beta2,

E' corretta anche la tua soluzione, basta che tieni conto che si ha:

$ -1/2 sin^-2 x + c = - \frac{1}{2sin^2 x} + c = - \frac{sin^2 x + cos^2 x}{2sin^2 x} + c = - 1/2 (1 + cot^2 x) + c = $
$ = - 1/2 cot^2 x + C = - 1/(2 tan^2 x) + C $

che probabilmente sono i $3 $ risultati diversi che hai visto...

Grazie mille pilloeffe Si hai proprio azzeccatto quindi si trattava solo di scrivere in maniera migliore il risultato... grazie ancora
Ti volevo chiedere una cosa, mi spieghi il terzo passaggio? Quello in cui fai la duplicazione al numeratore e poi ottieni $(1+cot^2 x)$

[gugo82]

Ok, i risultati sono equivalenti (differiscono per una costante in ogni intervallo).

Tuttavia, il procedimento per lo svolgimento dell'integrale è più semplice (= meno calcoli) quando noti che è un integrale immediato ed è preferibile agli altri.

[pilloeffe]

"Marco Beta2":Grazie mille pilloeffe

Prego!

"Marco Beta2":Si hai proprio azzeccatto

Facciamo azzeccato dai, che azzeccatto non mi piace...

"Marco Beta2":quindi si trattava solo di scrivere in maniera migliore il risultato...

Più che migliore direi diversa, come ha già scritto gugo82 i risultati sono equivalenti...

"Marco Beta2":Ti volevo chiedere una cosa, mi spieghi il terzo passaggio?

Beh, è semplice:

$ - \frac{sin^2 x + cos^2 x}{2sin^2 x} + c = -1/2 (\frac{sin^2 x}{sin^2 x} + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} ) + c = -1/2 (1 + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} ) + c = $
$ = - 1/2 (1 + cot^2 x) + c = - 1/2 cot^2 x + C $

ove si è posto $C := c - 1/2 $

[Marco Beta2]

"pilloeffe":[quote="Marco Beta2"]Grazie mille pilloeffe

Prego!

"Marco Beta2":Si hai proprio azzeccatto

Facciamo azzeccato dai, che azzeccatto non mi piace...

"Marco Beta2":quindi si trattava solo di scrivere in maniera migliore il risultato...

Più che migliore direi diversa, come ha già scritto gugo82 i risultati sono equivalenti...

"Marco Beta2":Ti volevo chiedere una cosa, mi spieghi il terzo passaggio?

Beh, è semplice:

$ - \frac{sin^2 x + cos^2 x}{2sin^2 x} + c = -1/2 (\frac{sin^2 x}{sin^2 x} + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} ) + c = -1/2 (1 + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} ) + c = $
$ = - 1/2 (1 + cot^2 x) + c = - 1/2 cot^2 x + C $

ove si è posto $C := c - 1/2 $[/quote]

Grazie mille a tutti per la chiarezza e la disponibilità
Volevo chiederti ulteriori info in merito... la prima cosa è: come hai fatto per duplicare al numeratore se $ 2 sen^2 x$ era al denumeratore? la seconda ed ultima cosa è: come sei passato da $ cotg^2 x$ a $ tg^2 x$ negli ultimi due passaggi?

[pilloeffe]

"Marco Beta2":come hai fatto per duplicare al numeratore

Onestamente non capisco perché parli di duplicazione (qualunque cosa significhi... ): ho semplicemente fatto uso della ben nota relazione trigonometrica $1 = sin^2 x + cos^2 x $

"Marco Beta2":come sei passato da $cot^2 x $ a $ tan^2 x $ negli ultimi due passaggi?

Beh, per definizione $cot x = 1/tan x \implies cot^2 x = 1/tan^2 x $