Disuguaglianza di Bernoulli
Buongiorno a tutti, sono uno studente iscritto al primo anno di ingegneria meccanica (prossimo al secondo) e in questi giorni di sessione estiva ho iniziato a studiare analisi matematica I e poi II. Scrivo questo post perché sulla rete e su questo forum non ho trovato una risposta a quello che è il mio problema e spero che possiate aiutarmi. Tengo a far presente che, da studente di ingegneria, ho delle normali basi di matematica pertanto siate liberi di esprimere i concetti come preferite anche se vi chiedo cortesemente di mantenere un livello piuttosto basico.
Il mio problema è che nel fare una dimostrazione della succitata disuguaglianza mi sono bloccato in un punto dove non riesco a comprendere un semplice passaggio matematico e spero che qualcuno possa aiutarmi a comprenderlo. Ecco illustrato l'esercizio:
Dimostrare che per ogni x $ >= $ -1 ed ogni n $ in $ N \ {0} vale: $ (1+x)^n >= 1+n*x $
In seguito procedendo per induzione verifico che la tesi è vera per n=1 e ipotizzo che sia vera per un numero naturale generico $ n_0 $ e per il suo successivo $ n_0+1 $ . Quindi scrivo:
$ (1+x)^((n_0 +1)) = ((1+x)^(n_0))*(1+x) $
Quindi sostituisco quello che ho appena scritto al primo membro della diseguaglianza principale(dato che la sto verificando per $ n0+1 $ ):
$ ((1+x)^(n_0))*(1+x) >= (1+x*(n_0))*(1+x) $
e sviluppando i calcoli scrivo:
$ ((1+x)^(n_0))*(1+x) >= 1+(1+n_0)*x + n_0*(x^2) $
Arrivato a questo punto non so più come procedere nella dimostrazione. Spero di essere stato chiaro e che qualcuno sia così gentile da aiutarmi. Grazie e buona giornata.
Il mio problema è che nel fare una dimostrazione della succitata disuguaglianza mi sono bloccato in un punto dove non riesco a comprendere un semplice passaggio matematico e spero che qualcuno possa aiutarmi a comprenderlo. Ecco illustrato l'esercizio:
Dimostrare che per ogni x $ >= $ -1 ed ogni n $ in $ N \ {0} vale: $ (1+x)^n >= 1+n*x $
In seguito procedendo per induzione verifico che la tesi è vera per n=1 e ipotizzo che sia vera per un numero naturale generico $ n_0 $ e per il suo successivo $ n_0+1 $ . Quindi scrivo:
$ (1+x)^((n_0 +1)) = ((1+x)^(n_0))*(1+x) $
Quindi sostituisco quello che ho appena scritto al primo membro della diseguaglianza principale(dato che la sto verificando per $ n0+1 $ ):
$ ((1+x)^(n_0))*(1+x) >= (1+x*(n_0))*(1+x) $
e sviluppando i calcoli scrivo:
$ ((1+x)^(n_0))*(1+x) >= 1+(1+n_0)*x + n_0*(x^2) $
Arrivato a questo punto non so più come procedere nella dimostrazione. Spero di essere stato chiaro e che qualcuno sia così gentile da aiutarmi. Grazie e buona giornata.
Risposte
Ciao Matteo
quello che vuoi ottenere è:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x$
sei arrivato a:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x + n_0x^2$
Nota che $n_0x^2 \geq 0$ perché prodotto di quantità positive o nulle. Allora puoi concludere:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x + n_0x^2 \geq 1+(n_0+1)x $ e quindi che
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x$
Se non è questo il passaggio che non riesci a comprendere, facci sapere qual è.
quello che vuoi ottenere è:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x$
sei arrivato a:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x + n_0x^2$
Nota che $n_0x^2 \geq 0$ perché prodotto di quantità positive o nulle. Allora puoi concludere:
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x + n_0x^2 \geq 1+(n_0+1)x $ e quindi che
$(1+x)^(n_0+1) \geq 1+(n_0+1)x$
Se non è questo il passaggio che non riesci a comprendere, facci sapere qual è.
Perfetto tutto risolto. Grazie mille.
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