Serie con Cauchy

[VALE014]

Salve a tutti ho questa serie che ho svolto con Condensazione o Cauchy. $ sum_( n= 2)^oo1/(nlnn!) $ . ho applicato il criterio necessario di convergenza ed il limite è 0 per gli infinitesimi quindi la serie può convergere o divergere. Applico cauchy in quanto è una funzione decrescente : $ lim_(N -> OO) 2^n/(2^
nln2^(n!)) $ . semplificando ottengo $ lim_(N -> OO) 1/(ln2^(n!)) $ posso concludere che per infinitesimi il limite è 0 per cui converge '?? oppure è sbagliato? grazie in anticipo

[cooper1]

dovresti dimostrare che la serie con termine generale $1/ln(2^(n!)) $ è convergente.
usare Cauchy in questa sinceramente mi sembra un po' controproducente. più velocemente avrei usato l'approssimazione di Stirling $logn! ~~ nlogn -n$ e tramite confronto asintotico concludere

[gugo82]

Beh, $log 2^(n!) = n! * log 2$, quindi hai voglia di convergenza...

[pilloeffe]

Scusate, ma non mi sembra corretto il termine che avete scritto: applicando il criterio di condensazione di Cauchy si otterrebbe $ln (2^n !) $, non $ln 2^{n!} $

[VALE014]

Stirling non posso usarlo, posso applicare confronto, confronto asintotico, radice rapporto, Laibniz e Cauchy alti criteri criteri non sono stati spiegati e di conseguenza il prof vuole solo questo, perciò avevo pensato a Cauchy. grazie per le risposte

[pilloeffe]

"VALE0":Stirling non posso usarlo, posso applicare confronto, confronto asintotico, [...]

A questo punto opterei per il confronto, osservando che $ln n! \ge n/4 \quad \AA n \ge 2 $:

$ \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n lnn!) \le \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n \cdot n/4) = 4 \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/n^2 = 4 (\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 - 1) = 4(\pi^2/6 - 1) $

Pertanto la serie proposta è convergente.

[VALE014]

grazie )

[cooper1]

per il termine in effetti hai ragione, non me ne ero nemmeno accorto (grazie @pilloeffe). quanto a Stirling, ti hanno già detto anche questo, è solo una stima asintotica, il teorema è quello del confronto asintotico.