Analisi matematica di base

Si è dato il seguente problema di Cauchy: $\{(x''+4x=sin2t), (x(0)=3), (x'(0)=-1/4):}$. Risolvendo il polinomio caratteristico risulta che l'autovalore associato è $\lambda=\pmi(sqrt2)$. Di conseguenza avremo: $x_0(t)=C_1cos((sqrt2)t)+C_2sin((sqrt2)t)$ $x_p(t)=\Phi_1cos((sqrt2)t)+\Phi_2sin((sqrt2)t)$ $x'_p(t)=\Phi'_1(-sqrt2*sin((sqrt2)t))+\Phi'_2(sqrt2*cos((sqrt2)t))$ Ora, il wronskiano sarà $W=|(cos((sqrt2)t),sin((sqrt2)t)),(-sqrt2*sin((sqrt2)t),(sqrt2*cos((sqrt2)t)))|=sqrt2$ Dunque avremo: $W_1=|(0,sin((sqrt2)t)),(sin2t,sqrt2*cos((sqrt2)t))|= -sin(2t)sin(sqrt2(t))$ $W_2=|(cos(sqrt2(t)),0),(-sqrt2sin(sqrt(2)t),sin2t)|=sin(2t)cos(sqrt(2)t)$ E pertanto $\Phi'_1=-sin(2t)sin(sqrt2(t))/sqrt2$ $\Phi'_2=sin(2t)cos(sqrt(2)t)/sqrt2$ Ora, ho solo il problema di risolvere gli integrali. Faccio sempre un po' fatica quando ci sono integrali con le funzioni ...

salve a ragazzi ho un problema nel risolvere queste due serie. $\sum_{n=1}^infty n^2!/n^n+2$ e questa con il criterio dellas radice la risolvo facilmente giusto? mentre questa non so come trattarla: $\sum_{n=1}^infty sqrt(n) cos((pi n)/2)(1-cos(1/n)$ questa non ho la più pallida idea di cosa possa fare

Qualcuno può dirmi se l’ho fatto bene?

Sia $A:=\mathbb{Z}\cup\{k+1 /q,k\in \mathbb{Z},q\in\mathbb{Z}-\{0\}\}$. Determinare il derivato di $A$, ossia l'insieme dei punti di accumulazione. Per risolverlo ho riscritto $k+1/q$ come $(kq+1) /q$ e siccome il rapporto di due interi è un numero razionale allora $\forall k,q \in \mathbb{Z}$ risulta che $A\subseteq \mathbb{Q}$. Da qui non riesco a trovare il derivato di $A$. Il derivato è per caso $\mathbb{R}$?

Buonasera, ho delle difficoltà nello studio della seguente funzione: $ \sqrt{3}/2 x^2-sqrt(6-x) $ Ho trovato la derivata che è: $ [2sqrt(3)xsqrt(6-x)+1] /(2sqrt(6-x) $ Ora la difficoltà è nel numeratore, dato che il denominatore è sempre positivo $ AA x in (-oo , 6) $ Come posso procedere dunque per risolvere $ 2sqrt(3)xsqrt(6-x)+1>= 0 $ ?

Salve a tutti, spero di non riportare alla luce argomenti già trattati. Utilizzando la barra di ricerca, comunque, non sono usciti topic simili . Da studente di economia mi accingo a dare l'esame di matematica, ma ho questo piccolo dubbio che vorrei togliermi. Avrei bisogno di una conferma relativa allo studio della funzione $y=|2x+4|+x$, soprattutto per quanto riguarda la dimostrazione algebrica della sua convessità. La funzione, continua in R, presenta un punto di non derivabilità in ...

Ciao! @dissonance [ot]non l'ho trovato da altre parti e ti giuro che ho cercato , tanto che ipotesi e tesi me le sono uscite io, quindi non ne sono certo[/ot] mi sono posto di dimostrare la seguente proposizione: Siano $V,W$ due $k$ spazi normati, $UsubseteqV$ un aperto di $V$ e $f:U->W$ una funzione differenziabile in $U$: allora, $f$ lipschitziana $=>$ $df:U->C(V,W)$ limitata come ...

Sia $ l^1 = {(x_k)_(k\in mathbb(N)) $ successione in $mathbb(R)$ : $ \sum_(k=1)^\infty |x_k|<\infty}$ siano $ x = (x_k)_(k\in \mathbb(N))$ e $y=(y_k)_(k\in \mathbb(N))$ con $x,y \in l^1$ Definiamo una distanza $d(x,y):= \sum_(k=1)^\infty |x_k-y_k|$. Allora lo spazio metrico $(l^1,d)$ è completo. Come posso dimostrare il teorema? Giustamente penserei di prendere una generica successione di Cauchy in $l^1$ e vedere se essa converge. Ma non riesco a vedere in modo lineare tutti i passaggi.

Ciao, Dal libro: "la successione delle ridotte è crescente se e solo se la serie è a termini positivi" Io ho trovato questa serie: $sum_{n=0}^(+infty)(n-1/2)$ Che non è a termini positivi (il primo è negativo), eppure la successione delle ridotte e crescente (strettamente). Dove sbaglio?

Salve, l'esercizio fa così $y=(3+5x+x^2)*sen(1/x)+(2x^2+4x^3)*sen(3/(2x^2))$ E la consegna è trovare gli asintoti obliqui nella forma $y=mx+q$ per $x->+infty$ Io ho fatto così ma credo di aver utilizzato in maniera inadeguata le equivalenze asintotiche per trovare il termine noto dell'asintoto. $m=lim_(x->+infty)(y/x)=lim_(x->+infty)((3/x+5+x)*sen(1/x)+(2x+4x^2)*sen(3/(2x^2)))=$ $=lim_(x->+infty){[((3/x^2+5/x+1)*sen(1/x))/(1/x)]+[((2/x+4)*sen(3/(2*x^2)))/(1/x^2)]}=$ $=1+4*3/2=7$ $q=lim_(x->+infty)(y-mx)=lim_(x->+infty)((3+5x+x^2)*sen(1/x)+(2x^2+4x^3)*sen(3/(2x^2))-7x)$ $lim_(x->+infty)sin(1/x)/(1/x)=1$ $lim_(x->+infty)sin(3/(2x^2))/(3/(2x^2))=1$ Da cui (penso che l'errore sia qui): $q=lim_(x->+infty)((3+5x+x^2)*(1/x)+(2x^2+4x^3)*(3/(2x^2))-7x)=$ $=lim_(x->+infty)[3/x+5+x+3+6x-7x]=8$ Quindi l'asintoto è ...

se nel calcolo degli sviluppi di taylor io non avessi i classici valori quali $sinx$, $cosx$ come si procede? ad esempio se avessi $cos4x$ verrebbe $1-(16x^2)/2$ e invece per $sin^2x$ viene$x^2-x^6/6$ se è cosi credo di avere capito basta sostituire al posto della x il valore che abbiamo se non fosse cosi come si fa?

Buongiorno a tutti, ho iniziato a studiare il problema di Cauchy con condizioni iniziali ma una cosa non mi è chiara... L'esercizio è il seguente: $<br /> { ( y''-2y'+10y=xe^x ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):}<br /> $ a questo punto ho calcolato il delta tramite l'equazione associata che mi viene negativo... ricavo $ alpha= - 1/2 $ e $ beta= 3 $ che vado a sostituire nell'equazione della soluzione per l'omogenea ottenendo: $y(m)=C1 e^(-1/2 m) cos 3m + C2 e^(-1/2 m) sen 3m$ della quale poi vado a fare anche la derivata $ y'(m)=C1(-1/2 e^(-1/2 m) cos 3x + e^(-1/2 m)* (-3sen 3x)) + C2((-1/2) e^(-1/2 m) sen 3x + e^(-1/2 m)* 3 cos 3x) $ A questo punto come faccio per ...

$ lim_(x -> 0) (e^(sin^2x)-cosx)/(1-cos^2x) $ pensavo di procedere in questo modo devo utilizzare il seguente limite notevole $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x=1 $ scrivo $ sin^2x $ come $ 1-cos^2x $ ottengo: $ lim_(x -> 0) (e^(1-cos^2x)-cosx)/(1-cos^2x $ come faccio ad eliminare $ -cosx $ è farlo diventare un -1? Grazie a tutti per il vostro aiuto

Buongiorno, ho la seguente funzione di utilità: $ U(c,l)=(c^(1-k))/(1-k)-l $ dove $ c=wl $. Imposto il problema di massimizzazione: $ Max U(c,l)=(wl)^(1-k)/(1-k)-l $ quindi faccio la derivata rispetto a $l$ e la pongo uguale a zero: $ d/(dl)((wl)^(1-k)/(1-k)-l)=0->d/(dl)((wl)^(1-k)/(1-k))-d/(dl)=0->1/(1-k)*d/(dl)((wl)^(1-k))-1=0-> $ $ 1/(1-k)*(1-k)(wl)^(1-k-1)-1=0->(wl)^(-k)=1->w^(-k)*l^(-k)=1->l^(-k)=1/(w^(-k)) $ $ -> l^(-k)=w^k->l=(w^k)^(-1/k)->l=1/w $, fin qui è corretta? Poi si inserisce una tassa pari a $ (1-t) $ e quindi c diventa: $ c=wl(1-t) $. Imposto nuovamente il problema di massimizzazione: $ MaxU(c,l)=((wl(1-t))^(1-k))/(1-k)-l $, quindi faccio la ...

Ciao, Vorrei capire come si vede che la verifica della condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica (di termine generale $x_n$) ne esclude l'indeterminatezza. $x_m=s_m-s_(m-1)$ $lim_(m to +infty)x_m=0 rightarrow lim_(m to +infty)s_m-s_(m-1)=0$. A questo punto "spezzerei" la somma, ma dal libro sembra che si possa fare solo se le due successioni somma convergono (invece noi non sappiamo nulla). So solo che devo dimostrare che la successione delle somme parziali ($s_m$) non può non esistere, se il ...

Salve! Commetterei un errore nel dire che il dominio di questa funzione è illimitato e chiuso? $ F(x,y)=y^{x} \arcsin (|4x+y|)) $ Stefano

Ciao, Avrei bisogno di una mano con questi due esercizi, nel primo non so bene se ho "concluso" l'esercizio, mentre nel secondo non so che fare, qualcuno avrebbe qualche suggerimento? $(a) $ Dare definizione per infA = $0$ e verificare (senza limiti) se sia soddisfatta o no con: $A = {(2n)/(n^2 +1) : n inNN }$ $(b)$ Dare def. per supA = $+oo$ e stabilire se sia soddisfatta o no con: $A = {2/(x-1): x>1}$ Nell'esercizio $(a)$ ho provato a ...

Ciao ragazzi. La consegna di un esercizio chiede di dimostrare che $x^3+x-a=0$ ha una e una sola soluzione $\AAa\in\mathbb(R)$. Allora, dire che ha almeno una soluzione è semplice. Poiché $f$ è continua e $ lim_(x\to+\infty)x^3+x-a=+\infty $ $ lim_(x\to-\infty)x^3+x-a=-\infty $ allora $f(x)$ ha almeno una soluzione. Per assicurare una e una sola soluzione dovrei dimostrare la stretta monotonia (o equivalentemente la sua iniettività, giusto?) di $f$. Tuttavia non so proprio come fare. ...

Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio e spiegarmelo passo passo? Non so proprio da dove iniziare

Ciao! Devo fare il seguente integrale di superficie, ma non mi appattano due cose: $int_(Sigma)(z^2+x^2)/sqrt(1+4(x^2+y^2))dsigma$ - $Sigma={(x,y,z) in RR^3| z=x^2-y^2, (x,y) in T}$ - $T={(x,y) in RR^2| x^2+y^2geq1 wedge x^2/4+y^2leq1}$ fonte la normale è $N(x,y)=(-2x,-2y,1)$ e quindi $||N(x,y)||=sqrt(1+4(x^2+y^2))$ $int_(Sigma)(z^2+x^2)/sqrt(1+4(x^2+y^2))dsigma=int_Tx^2dxdy $ Ora il problema è la parametrizzazione, io userei le polari ma nella soluzione vengono usate quelle ellittiche facendo variare il raggio $r in [0,1]$ cosa che don't capisco. (obv ci sono simmetrie, ma lo faccio su tutto ...