Integrale di superficie
Ciao!
Devo fare il seguente integrale di superficie, ma non mi appattano due cose:
- $Sigma={(x,y,z) in RR^3| z=x^2-y^2, (x,y) in T}$
- $T={(x,y) in RR^2| x^2+y^2geq1 wedge x^2/4+y^2leq1}$
fonte
la normale è $N(x,y)=(-2x,-2y,1)$ e quindi $||N(x,y)||=sqrt(1+4(x^2+y^2))$
Ora il problema è la parametrizzazione, io userei le polari ma nella soluzione vengono usate quelle ellittiche facendo variare il raggio $r in [0,1]$ cosa che don't capisco.
(obv ci sono simmetrie, ma lo faccio su tutto $theta in [0,2pi]$)
considerando comunque le coordinate ellittiche: ${(x=2rcostheta),(y=rsintheta) :}$
il determinante jacobiano della trasformazione è $2r$.
Una volta parametrizzando l'insieme verrà
non dovrebbe essere $int_(0)^(2pi)int_(sqrt(1/(3cos^2theta+1)))^(1)[2r^3cos^2(theta)]drd theta$?
Devo fare il seguente integrale di superficie, ma non mi appattano due cose:
$int_(Sigma)(z^2+x^2)/sqrt(1+4(x^2+y^2))dsigma$
- $Sigma={(x,y,z) in RR^3| z=x^2-y^2, (x,y) in T}$
- $T={(x,y) in RR^2| x^2+y^2geq1 wedge x^2/4+y^2leq1}$
fonte
la normale è $N(x,y)=(-2x,-2y,1)$ e quindi $||N(x,y)||=sqrt(1+4(x^2+y^2))$
$int_(Sigma)(z^2+x^2)/sqrt(1+4(x^2+y^2))dsigma=int_Tx^2dxdy $
Ora il problema è la parametrizzazione, io userei le polari ma nella soluzione vengono usate quelle ellittiche facendo variare il raggio $r in [0,1]$ cosa che don't capisco.
(obv ci sono simmetrie, ma lo faccio su tutto $theta in [0,2pi]$)
considerando comunque le coordinate ellittiche: ${(x=2rcostheta),(y=rsintheta) :}$
il determinante jacobiano della trasformazione è $2r$.
Una volta parametrizzando l'insieme verrà
$T={(2rcostheta,rsintheta) in RR^2| 0leqrleq1wedge 3r^2cos^2theta+r^2geq1}$
$T={(2rcostheta,rsintheta) in RR^2| 0leqrleq1wedgergeqsqrt(1/(3cos^2theta+1)) }$
$T={(2rcostheta,rsintheta) in RR^2| 0leqrleq1wedgergeqsqrt(1/(3cos^2theta+1)) }$
non dovrebbe essere $int_(0)^(2pi)int_(sqrt(1/(3cos^2theta+1)))^(1)[2r^3cos^2(theta)]drd theta$?
Risposte
Così, ad occhio, è possibile che si stia calcolando l'integrale doppio per differenza?
$\int_{T}x^2dx dy=\int_{S_1}x^2dx dy-\int_{S_2}x^2 dx dy$
dove $S_1$ è l'insieme dei punti del piano limitati dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ e $S_2$ l'insieme dei punti del piano limitati dalla circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$.
[Edit] Comunque il tuo ragionamento è convincente.[/edit]
$\int_{T}x^2dx dy=\int_{S_1}x^2dx dy-\int_{S_2}x^2 dx dy$
dove $S_1$ è l'insieme dei punti del piano limitati dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ e $S_2$ l'insieme dei punti del piano limitati dalla circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$.
[Edit] Comunque il tuo ragionamento è convincente.[/edit]
Ciao mathita 
si in realtà penso tu abbia ragione, avrà diviso l'integrale in due dove da un lato ha integrato in coordinate polari e dall'altro in coordinate ellittiche.
Il modo in cui sto provando io però non eguaglia il suo risultato
edit: senza 'penso': hai ragione
se invece facessi lo stesso, però usando le coordinate polari, otterrei:
e così viene.
Quindi avrò sbagliato qualche conto utilizzando le coordinate ellittiche.
edit2: certo che ho sbagliato, al posto di $x$ avevo messo $rcostheta$ e non $2rcostheta$.
perfetto.
si in realtà penso tu abbia ragione, avrà diviso l'integrale in due dove da un lato ha integrato in coordinate polari e dall'altro in coordinate ellittiche.
Il modo in cui sto provando io però non eguaglia il suo risultato
edit: senza 'penso': hai ragione
se invece facessi lo stesso, però usando le coordinate polari, otterrei:
$int_(0)^(2pi)int_(1)^(sqrt(4/(1+3sin^2theta)))[r^3cos^2(theta)] dr d theta$
e così viene.
Quindi avrò sbagliato qualche conto utilizzando le coordinate ellittiche.
edit2: certo che ho sbagliato, al posto di $x$ avevo messo $rcostheta$ e non $2rcostheta$.
perfetto.
Mi pare che tu abbia scritto male l'integranda: se non ho cannato, l'integrale da calcolare è
$\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{\frac{1}{3\cos^2(\theta)+1}}}^{1}8r^3\cos^2(\theta)dr d\theta$
[Edit]Sono stato troppo lento, te ne sei accorto da solo
[/edit]
$\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{\frac{1}{3\cos^2(\theta)+1}}}^{1}8r^3\cos^2(\theta)dr d\theta$
[Edit]Sono stato troppo lento, te ne sei accorto da solo
[/edit]
Si infatti ho notato questo errore: tutto bene quel che finisce bene
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