Funzioni di più variabili: condizione necessaria per il minimo relativo

[marco.atzori.1983]

Sia $f(p) : A \subset \mathbb{R}^n$, dove $p = \vec{x}$

Si chiama $p^0$ il gradiente della funzione $f(p)$

$p^0$ è un punto di minimo relativo se presenta un intorno $I_\delta$ dove in ogni punto di questo intorno sussiste la relazione

$$f(p) \geq f(p^0)$$
Dimostrazione: se $f(p)$ è derivabile due volte, si può scrivere la formula di Taylor, con $n = 2$, della funzione $f(p)$ nei dintorni di $p^0$

$$f(p) - f(p^0) = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \right)_{p^0} + \frac{1}{2} \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i} \right)_{p^0} (x_i + x^0_i) (x_j + x^0_j) + \sigma$$
con
$$\lim_{p \to p^0} \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} = 0$$

il termine $\left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \right)_{p^0}$ è uguale $0$ per il teorema di Fermat. Ora, citando l'opuscolo fornito dal docente

in corrispondenza al numero positivo $\frac{1}{4}m$ esiste un $\delta > 0$ tale che per $||p - p^0|| < \delta$ si ha $$-\dfrac{1}{4}m < \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} < \dfrac{1}{4}m$$ quindi
$$\dfrac{f(p) - f(p^0)}{||p - p^0||} \geq \dfrac{1}{2}m + \dfrac{\sigma}{||p - p^0||^2} > \dfrac{1}{2}m - \dfrac{1}{4}m = \dfrac{1}{4}m$$

$m$ sarebbe il valore del minimo assoluto? Qualcuno saprebbe spiegarlo meglio? Il docente ha omesso dei passaggi intermedi?

Grazie in anticipo

[anto_zoolander]

Ciao!

Onestamente non si capisce cosa si voglia dimostrare.
Devi dimostrare che se un punto è di minimo relativo allora il gradiente è nullo?

[gugo82]

Si sta dimostrando la condizione sufficiente per il minimo, ma senza né capo né coda, senza ipotesi, senza usare l’hessiano... insomma, un guazzabuglio.