Completezza di L1

[Fratix]

Sia $ l^1 = {(x_k)_(k\in mathbb(N)) $ successione in $mathbb(R)$ : $ \sum_(k=1)^\infty |x_k|<\infty}$ siano $ x = (x_k)_(k\in \mathbb(N))$ e $y=(y_k)_(k\in \mathbb(N))$ con $x,y \in l^1$ Definiamo una distanza $d(x,y):= \sum_(k=1)^\infty |x_k-y_k|$. Allora lo spazio metrico $(l^1,d)$ è completo.

Come posso dimostrare il teorema? Giustamente penserei di prendere una generica successione di Cauchy in $l^1$ e vedere se essa converge. Ma non riesco a vedere in modo lineare tutti i passaggi.

[gugo82]

L'idea di base è mostrare che la condizione di Cauchy per una successione \((\mathbb{x}^m )_{m \in \mathbf{N}} \subset \ell^1\) implica la convergenza delle successioni delle componenti \((x_n^m)_{m \in \mathbf{N}} \subset \mathbb{R}\) per ogni $n in NN$; poi provare che la successione \(\mathbb{x}\) con componenti \(x_n := \lim_m x_n^m\) è in \(\ell^1\) e risulta \(\lim_m d(\mathbf{x}^m , \mathbf{x}) = 0\).

[Fratix]

Grazie tante