Campo irrotazionale non conservativo? (esempio fisico)
Mi potete fare un esempio fisico di campo non conservativo che però ha il rotore nullo? Dalla definizione penso basti definire il campo su un domino non semplicemente connesso, ma non riesco a pensare ad un esempio...
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Risposte
L'esempio fisico standard è il campo magnetico generato da una corrente filiforme. Se il filo coincide con l'asse delle z, su \(\mathbb R^3\setminus\{ (0,0, z)\ :\ z\in\mathbb R\}\) il campo è irrotazionale, per la legge di Ampère. Ma per la medesima legge, il campo non è conservativo, perché la circuitazione su una circonferenza che avvolge il filo è proporzionale alla corrente.
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
Beh, questo campo:
$(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2), 0)$
definito su ad es. $1
ha rotore nullo pero' non e' conservativo.
E' simile all'esempio di dissonance.
Come dici giustamente, il dominio non e' semplicemente connesso, ha un buco attorno all'origine.
Non ho capito il senso di "esempio fisico". Forse intendevi "esempio concreto"?
$(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2), 0)$
definito su ad es. $1
ha rotore nullo pero' non e' conservativo.
E' simile all'esempio di dissonance.
Come dici giustamente, il dominio non e' semplicemente connesso, ha un buco attorno all'origine.
Non ho capito il senso di "esempio fisico". Forse intendevi "esempio concreto"?
No, essere definito su un dominio non semplicemente connesso non è condizione sufficiente a essere non conservativo...un campo può essere conservativo anche su un dominio non semplicemente connesso.
In fluidodinamica ne esistono tanti di esempi...tutta la teoria dei moti piani a potenziale è basata su campi vettoriali non rotanti che hanno circolazione non nulla attorno a un certo domonio nel piano.
In fluidodinamica ne esistono tanti di esempi...tutta la teoria dei moti piani a potenziale è basata su campi vettoriali non rotanti che hanno circolazione non nulla attorno a un certo domonio nel piano.
Ok dissonance. Non capisco dove ho detto il contrario, ma non importa, il concetto ormai dovrebbe essere chiaro.
Grazie a tutti per le risposte. Scusate il ritardo della risposta.
[quote = "Quinzio"]
Non ho capito il senso di "esempio fisico".
[/quote]
volevo sapere un esempio di applicazione alla "realtà", non inventando una funzione con quelle proprietà da me definita
Vero. Se non è semplicemente connesso non ho "scorciatoie" da prendere per trovare (o meno) un potenziale, ma non significa necessariamente che non abbia potenziale. Grazie per avermelo fatto notare.
[quote = "Quinzio"]
Non ho capito il senso di "esempio fisico".
[/quote]
volevo sapere un esempio di applicazione alla "realtà", non inventando una funzione con quelle proprietà da me definita
"Vulplasir":
No, essere definito su un dominio non semplicemente connesso non è condizione sufficiente a essere non conservativo...un campo può essere conservativo anche su un dominio non semplicemente connesso.
In fluidodinamica ne esistono tanti di esempi...tutta la teoria dei moti piani a potenziale è basata su campi vettoriali non rotanti che hanno circolazione non nulla attorno a un certo domonio nel piano.
Vero. Se non è semplicemente connesso non ho "scorciatoie" da prendere per trovare (o meno) un potenziale, ma non significa necessariamente che non abbia potenziale. Grazie per avermelo fatto notare.
Questi in effetti sono buoni esempi. Un campo vettoriale è conservativo se e solo se tutte le sue circuitazioni sono nulle. Ora, se un dominio ha "buchi" (facciamo a capirci), può succedere che in questi buchi si ficchi un rotore non nullo, o una singolarità che corrisponde ad un rotore uguale ad una delta di Dirac. Che poi è quello che succede in TUTTI questi esempi.
Noi, che siamo dei matematici furbacchioni, possiamo anche considerare il campo vettoriale come definito su un aperto dove il rotore si annulla. Ma ci saranno sempre delle circuitazioni che si avvolgono intorno al buco, e nel buco, anche se il campo non è definito, comunque c'era un rotore non nullo. E quindi, tali circuitazioni non si possono annullare e il campo non può essere conservativo. Non eravamo poi tanto furbacchioni dopo tutto
Noi, che siamo dei matematici furbacchioni, possiamo anche considerare il campo vettoriale come definito su un aperto dove il rotore si annulla. Ma ci saranno sempre delle circuitazioni che si avvolgono intorno al buco, e nel buco, anche se il campo non è definito, comunque c'era un rotore non nullo. E quindi, tali circuitazioni non si possono annullare e il campo non può essere conservativo. Non eravamo poi tanto furbacchioni dopo tutto
"dissonance":
Questi in effetti sono buoni esempi. ...
Si, l'idea e' questa.
Scusate la tarda risposta nuovamente... ho bisogno di ragionare un attimo prima di rispondere e in questi giorni non ho trovato tempo.
Grazie mille veramente, era un po' che non masticavo questi concetti e con i vostri esempio mi si è "ri-aperto" un mondo: sono riuscito a rimettere insieme tasselli sparsi che ricordavo senza organicità
Grazie mille veramente, era un po' che non masticavo questi concetti e con i vostri esempio mi si è "ri-aperto" un mondo: sono riuscito a rimettere insieme tasselli sparsi che ricordavo senza organicità
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