Analisi matematica di base

...e poi basta per oggi, promesso Mi piacerebbe farvi vedere questa che tra l'ammasso di esercizi che ho svolto nel pomeriggio mi crea dei dubbi. [edit sulle parentesi] $\sum_(n>=1) (-1)^n (\root[n]3-1)$ ho pensato bene di svolgerne lo studio con Leibniz. Il fatto che non potrei applicarlo perché ho un dubbio sulla positività di $a_n$, infatti vorrei mostrare che sia positiva così che possa essere certo sia di segni alterni. Ora riesco a mostrare che $\root[n]3-1>0$ intuitivamente con il ...

$lim _(xtoinfty)((x^(1/2)+2^x+2)/(x^(1/2)+2^x))^(x^(1/2)*sinx)$ salve ho questo dubbio dato che il limite di sinx per x che tende allìinfinito non esiste posso non cosiderarlo...e risolvere il limite normalmente come se non ci fosse?

Considerata la restrizione all'intervallo $[0,2pi]$ dei termini delle due sucessioni di funzioni : $f_n =sin(nx) $ e $f_n= sin(nx)/n$ Possiamo dire che sono uniformemente convergenti alla funzione $f(x)=0$ in tale intervallo? Personalmente , ho notato che entrambe le successioni diventano NON REGOLARI se calcolate nei multipli di $pi/2$ nello specifico : per la prima si ripete la sequenza $1,0,-1,0$ e per la seconda la sequenza ...

Mi rendo conto che dal solo studio teorico non abbia ben capito come trattare lo studio di serie telescopiche. Il problema è che ho notato esserci diverse definizioni e non capisco a quale devo ricondurmi: 1- Ad esempio: $\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+k))$ (1), alcune volte leggo $\sum_(n=1)^(+oo) (a_n-a_(n+1))$ (2). Ma se trovo una serie di tipo 1 come la riconduco al tipo 2? Non mi pare possibile. Dunque se per la definizione di tipo 2 alcune serie non sono telescopiche ma per la 1 sì, quindi per la 1 posso applicare le ...

Stavo svolgendo questi primi esercizi sulle serie numeriche e non capisco se forse io abbia bistrattato troppo questa serie per giungere al risultato. Purtroppo i tutorati non hanno soluzione quindi vivo sempre nel dubbio se sia giusto o no Vorrei proporvene 2: $sum_(n>=1)1/(2^(logn!))$ La serie è a termini positivi e il termine generale un infinitesimo per n->infinito, quindi.. sapendo che $n!>n$ e il fatto che il logaritmo è crescente posso maggiorare: $1/(2^(logn!))<=1/2^logn$ quindi ...

Ciao, Studiando le successioni di funzioni ho trovato questa condizione: Siano $f_k(x)$ e $f(x)$ definite in $I$. La successione $f_k(x)$ converge uniformemente in $I$ a $f(x)$ se e solo se $lim_(n to +infty)max_(x in I)|f_k(x)-f(x)|=0$ Questa "regola" quando è valida? Perché nelle slide del corso c'è scritto che vale se le $f_k$ e $f$ sono limitate in $I$, ma vale anche in generale? Aggiungo che non abbiamo fatto ...

Buonasera, studiando la semplice: $\sum_(n>=1) (sin(1/n))1/n^a$ proposta nel tutorato mi è sorto un dubbio Se studio tale serie con il confronto asintotico è facile vedere che converge per $a>0$ e diverge per valori di $a<=0$. Tuttavia ho pensato, dato che $sin(1/x)$ è definitivamente maggiore di zero posso anche dire che $a_n=(sin(1/x))*1/n^a<=1/n^a=b_n$ e se applicassi sulle $a_n$ e $b_n$ il confronto allora noterei (dato che la serie $1/n^a$) è ...

Classici esempi di convergenza non uniforme vengono forniti esibendo una successione di funzioni continue che converge puntualmente ad una funzione discontinua - per esempio \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) definite da \( f_n(x) = x^n \) converge puntualmente alla funzione \( f (x) = \chi_{\{1\}} (x) \) che però è discontinua (e quindi la convergenza non può essere uniforme). Trovo curioso che si possa (Esercizio.) Costruire una successione di funzioni \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) ...

Ciao a tutti, vorrei gentilmente chiedere una mano sul seguente esercizio. Precisamente sulla richiesta $\vecn*\veck<0$ non ho capito cosa sia quel vettore k con cui moltiplicare n che ho trovato essere: $\vecn=(-x^2/sqrt(x^2+y^2),-y^2/sqrt(x^2+y^2),1)$ E come fa anche affermare che "il flusso è uscente se n*k

Devo calcolare i coefficienti $b_k$ per determinare il polinomio trigonometrico approssimante la funzione $f(x) =2x^2-9$ su sei punti equispaziati nell'intervallo $[-\pi, \pi] $ Basta fare $b_k=\sum_(j=0)^{5} (2x^2-9) sin(x_j)$,$x_j=-\pi+j/3\pi, j=0,\cdots,5$ Ecco la mia domanda, se fossi stato nel continuo, la formula avrebbe contenuto l'integrale invece della sommatoria e sarebbe stato subito a occhio zero perché avrei integrato su un intervallo simmetrico rispetto all'origine una funzione pari per una ...

Buon pomeriggio, avrei bisogno di una mano con il seguente integrale triplo. $ int int int_(D) z^2dx dy dz $ Con $ D={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2<=1,x^2+y^2+(z-1)^2<=1} $ Io ho pensato di passare a coordinate sferiche. Dalla prima disequazione si ottiene $ 0<= rho<=1 $ Dalla seconda invece $ rho^2cos^2varthetasin^2phi+rho^2sin^2varthetacos^2phi+(rhocosphi-1)^2<= 1 $ Eseguendo i calcoli ottengo $ cosphi>= 1/2 $ $ 0<= phi<= pi/3 $ $ 0<= vartheta <= 2pi $ L'integrale triplo diventa così $ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(pi/3) dphiint_(0)^(1) rho^2cos^2phirho^2sinphi drho =2piint_(0)^(pi/3) cos^2phisinphi dphiint_(0)^(1) rho^4 drho $ Il problema è che il risultato non torna. Il passaggio a coordinate sferiche è corretto?

Buongiorno, scusate il disturbo. Non capisco proprio come applicare il teorema del Dini. In particolare, ho due esercizi che non mi tornano. 1) Studiare la funzione definita implicitamente in un intorno del punto $(x_0,y_0)$ da $e^xy + x + y = 1$ in $(0,0)$ Verifico le ipotesi del teorema del dini e trovo $\varphi(x)$ attraverso il rapporto delle derivate parziali. Poi ho le idee un pò confuse sul come procedere. Per il secondo esercizio apro un altro argomento per ...

Questo era l'altro esercizio non chiaro di cui parlavo. Calcolare le derivata prima in $x_0$ della funzione definita implicitamente in un intorno del punto $(2,0)$ da $f(x,y)=x log(1 + xy) + cos(xy) = 1 − y^2$ Il punto soddisfa la prima condizione, cioè $f(x_0,y_0)=0$ Calcolo la derivata rispetto ad $y$ e trovo che $(delf(x_0,y_0))/(dely) = 4$ Dunque anche la seconda richiesta del teorema del Dini è soddisfatta. Dopodichè calcolo la derivata rispetto ad x e grazie al rapporto di ...

Dovrei calcolare il volume del cilindroide delimitato dai piani $z=0$ e $z=x$, la cui proiezione sul piano (x,y) nel primo quadrante è data dalle due circonferenze $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-2y =0$. Io ho impostato così l'insieme $C={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 4, x^2+y^2-2y \leq 0, x \geq 0, y \geq 0, z \leq x}$ Passando in coordinate cilindriche ottengo che $$\iiint_D \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z$$ Da $\rho^2 \leq 4$ ottengo $0 \leq \rho \leq 2$, da $\rho^2-2\rho \sin \theta \leq 0$ ottengo ...

Mi trovo con un dubbio che vorrei provare a girarvi ringraziandovi già da ora per l'auto. Per il teorema di stokes nel caso in esame sulla divergenza ho visto che dato un A delimitato da una sup. chiusa e regolare con una certa normale esterna e preso inoltre un certo campo vettoriale di classe almeno $C^1$ valeil teorema della divergenza. Tuttavia da altra fonte leggo anche che " Si dimostra che se un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto A è solenoidale allora è anche ...

Vi chiederei di controllare se ho impostato bene tale esercizio Calcolare su $E={(x,y,z)\in\RR^3 : 9x^2+4y^2+36z^2<=36,z>=0}$ l'integrale triplo $\int int int (9x^2+4(y-3z)^2)dxdydz$ Espandendo, osservo che nell'integrale compare la quantità $9x^2+4y^2+36z^2$ e che quindi il passaggio a coordinate "ellissoidaili" potrebbe essere vantaggioso. Tale cambiamento ha equazione $\Phi :{(x=2\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(y=3\rho sin(\varphi)cos(\theta)),(z=\rho cos(\varphi)):}$ Il suo jacobiano l'ho calcolato a partire da quello $\chi$ del cambiamento in coordinate sferiche. Detta ...

Ciao! parlavo con un ragazzo e discutevamo sulle funzioni convesse: mi ha chiesto se potessi dimostrargli che i massimi di funzioni convesse non possono essere punti interni(con la def di convessità). Mi sono scervellato un po' e mi è venuto questo sia $f:C->RR$ una funzione strettamente convessa con $CsubsetV$ convesso dello spazio $RR-$normato $(V,norm(*))$: se $x$ è interno a $C$ allora non è un massimo se $x$ è ...

Mi trovo con un dubbio legato allo studio odierno del flusso di un campo vettoriale attraverso un sostegno di una cerca superficie. Il mio dubbio è nato in un esercizio ma in realtà potrei estenderlo a tutti i tipi di esercizi. So che il verso del vettore normale è arbitrario, infatti nel calcolo di tale vettore rientra un prodotto vettoriale che è anticommutativo, dunque a seconda di come parametrizzo mi trovo due segni discordi, esempio: Avevo tale superficie ...

Ho un dubbio su come classificare i punti critici che non sono nè di massimo nè di minimo. Prendiamo la seguente funzione $f(x,y)=(y-x^2-x^3)^3$ Che ha derivate parziali pari a $f_x(x,y)=-3x(2+3x)(y-x^2-x^3)^2$ $f_y(x,y)=3(y-x^2-y^3)^2$ Ricavo come punti stazionari tutti e soli i punti del tipo $(x,x^3+x^2)$, che sono zeri e quindi non possono essere nè massimi nè minimi relartivi. Resta il dubbio che siano selle o meno. Per semplicità sto analizzando solo l'origine. Trovo diverse restrizioni ...

Buongiorno a tutti, sto provando a svolgere il seguente questio: In alternativa c'è anche la risposta "nessuna delle precedenti". Ho provato a svolgerlo usando le coordinate sferiche ma non mi aiuta ad arrivare alle opzioni proposte Grazie