Campo vettoriale indivergente/solenoidale
Mi trovo con un dubbio che vorrei provare a girarvi ringraziandovi già da ora per l'auto.
Per il teorema di stokes nel caso in esame sulla divergenza ho visto che dato un A delimitato da una sup. chiusa e regolare con una certa normale esterna e preso inoltre un certo campo vettoriale di classe almeno $C^1$ valeil teorema della divergenza.
Tuttavia da altra fonte leggo anche che " Si dimostra che se un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto A è solenoidale allora è anche indivergente ma non sussiste l'implicazione inversa".
Ma in teoria dato il teorema della divergenza non dovrebbe essere valida questa asserzione.
Non capisco bene cosa mi stia sfuggendo.
Per il teorema di stokes nel caso in esame sulla divergenza ho visto che dato un A delimitato da una sup. chiusa e regolare con una certa normale esterna e preso inoltre un certo campo vettoriale di classe almeno $C^1$ valeil teorema della divergenza.
Tuttavia da altra fonte leggo anche che " Si dimostra che se un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto A è solenoidale allora è anche indivergente ma non sussiste l'implicazione inversa".
Ma in teoria dato il teorema della divergenza non dovrebbe essere valida questa asserzione.
Non capisco bene cosa mi stia sfuggendo.
Risposte
Vuoi dire che se il rotore è nullo allora pure la divergenza è nulla? Questo è falso, è facile costruire dei controesempi.
Uhm no piuttosto voglio dire che se la divergenza è nulla (indivergente) mi pare ci sia una relazione "se e solo se" -per il teorema della divergenza- con il fatto che sia solenoidale (cioè che il flusso attraverso una qualunque sup. chiusa sia nullo).
Ma c'è quella frase subdola che mi sembra dire il contrario.
Ho precisato meglio perché vedo che in alcuni testi chiamano indivergente cioè che è solenoidale. Nomenclatura insomma,ma il mio dubbio è su questa proprietà.
Il rotore non lo stavo considerando.
Ma c'è quella frase subdola che mi sembra dire il contrario.
Ho precisato meglio perché vedo che in alcuni testi chiamano indivergente cioè che è solenoidale. Nomenclatura insomma,ma il mio dubbio è su questa proprietà.
Il rotore non lo stavo considerando.
Mah, non so se posso chiarire il dubbio ma in ogni caso la relazione sempre vera è:
tutti i flussi sono nulli \(\Rightarrow \) la divergenza è nulla.
Questo non è niente di straordinario; semplicemente, esprime il fatto che la divergenza in un punto è il limite dei flussi attorno a una successione di gusci sferici via via più piccoli centrate nel punto, diviso la superficie delle sferette.
Il viceversa vale solo per le superfici che non racchiudono nessuna singolarità del campo, in modo che si possa applicare il teorema della divergenza. Questo è il fatto profondo e importante. Se non fosse per il teorema della divergenza, la divergenza non servirebbe a niente.
tutti i flussi sono nulli \(\Rightarrow \) la divergenza è nulla.
Questo non è niente di straordinario; semplicemente, esprime il fatto che la divergenza in un punto è il limite dei flussi attorno a una successione di gusci sferici via via più piccoli centrate nel punto, diviso la superficie delle sferette.
Il viceversa vale solo per le superfici che non racchiudono nessuna singolarità del campo, in modo che si possa applicare il teorema della divergenza. Questo è il fatto profondo e importante. Se non fosse per il teorema della divergenza, la divergenza non servirebbe a niente.
Ti ringrazio per la risposta.
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