Integrale triplo

[alemar05]

Buon pomeriggio, avrei bisogno di una mano con il seguente integrale triplo.
$ int int int_(D) z^2dx dy dz $
Con $ D={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2<=1,x^2+y^2+(z-1)^2<=1} $
Io ho pensato di passare a coordinate sferiche.
Dalla prima disequazione si ottiene $ 0<= rho<=1 $
Dalla seconda invece $ rho^2cos^2varthetasin^2phi+rho^2sin^2varthetacos^2phi+(rhocosphi-1)^2<= 1 $
Eseguendo i calcoli ottengo $ cosphi>= 1/2 $
$ 0<= phi<= pi/3 $
$ 0<= vartheta <= 2pi $
L'integrale triplo diventa così $ int_(0)^(2pi)dvartheta int_(0)^(pi/3) dphiint_(0)^(1) rho^2cos^2phirho^2sinphi drho =2piint_(0)^(pi/3) cos^2phisinphi dphiint_(0)^(1) rho^4 drho $
Il problema è che il risultato non torna. Il passaggio a coordinate sferiche è corretto?

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Alemar, non dovresti mettere foto dell'esercizio ma piuttosto riscriverlo con le formule, soprattutto quando è un esercizio semplice da scrivere come in questo caso. Per piacere, provvedi.[/xdom]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[alemar05]

"TeM":Dunque, si è interessati al calcolo del seguente integrale triplo: \[ \iiint\limits_{\Omega} z^2\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\,, \] dove: \[ \Omega := \left\{(x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2 \le 1, \; x^2+y^2+(z-1)^2\le 1\right\}. \] A tale scopo, si decide di adottare la seguente trasformazione di coordinate: \[ \Phi : \begin{cases} x = \rho\,\sin\varphi\,\cos\theta \\ y = \rho\,\sin\varphi\,\sin\theta \\ z = \rho\,\cos\varphi \end{cases} \; \; \; \; \; \; \text{con} \; \left(\rho,\,\varphi,\,\theta\right) \in [0,\,+\infty) \times [0,\,\pi] \times [0,\,2\,\pi) \] e per determinare \(\Omega^* : \Omega = \Phi\left(\Omega^*\right)\) occorre risolvere il seguente sistema di disequazioni:
\[ \begin{cases}
\rho \ge 0 \\
0 \le \varphi \le \pi \\
0 \le \theta < 2\,\pi \\
\rho^2 \le 1 \\
\rho^2\,\sin^2\varphi + \left(\rho\,\cos\varphi - 1\right)^2 \le 1
\end{cases}

\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;

\begin{cases}
0 \le \rho \le 1 \\
0 \le \varphi \le \pi \\
0 \le \theta < 2\,\pi \\
\rho \le 2\,\cos\varphi
\end{cases}\,.
\] Qui ti invito a riflettere su come risolvere correttamente tale sistema.

Grazie per la risposta, ma non riesco a capire come risolvere il sistema. Ho pensato di porre $ rho=0,rho=1 $
Se $ rho=0rarr cosphi>=0rarr phi<=pi/2 $
Se $ rho=1rarr cosphi>=1/2rarr phi<=pi/3 $

[alemar05]

Credo di avere capito quali sono le due casistiche ma non riesco comunque a risolvere. Mi fa confondere la quantità $ rho<=2cosphi $
La divisione dovrebbe dipendere dal fatto che
$ cosphi>=0 -> 0>=phi>=pi/2 $
$ cosphi<=0 -> pi/2>=phi>=pi $

[alemar05]

"TeM":Capisco ben quali siano le difficoltà che riscontri, dato che sono le stesse di molti altri studenti (purtroppo!)

In ogni modo, la faccenda non è poi così complicata, basta declinare i seguenti due casi:

[*:13c02uap] si ha \(0 \le \rho \le 1\) nel caso in cui \(0 \le \varphi \le \pi \, \land \, 2 \cos\varphi \ge 1\);

[/*:m:13c02uap]
[*:13c02uap] si ha \(0 \le \rho \le 2 \cos\varphi\) nel caso in cui \(0 \le \varphi \le \pi \, \land \, 0 \le 2 \cos\varphi \le 1\).[/*:m:13c02uap][/list:u:13c02uap] In tal modo, la soluzione ottenuta è unione di due insiemi, quindi l'integrale va calcolato come somma di due integrali.

Grazie mille per la pazienza