Quesito passaggio da integrale triplo a doppio

[mikandrea]

Buongiorno a tutti,
sto provando a svolgere il seguente questio:



In alternativa c'è anche la risposta "nessuna delle precedenti".
Ho provato a svolgerlo usando le coordinate sferiche ma non mi aiuta ad arrivare alle opzioni proposte

Grazie

[mikandrea]

"arnett":Creo ti sia stato detto già diverse volte che gli esercizi vanno riportati con le formule, non va bene mettere le foto. Quindi riscrivilo.
Inoltre: $a$ in cosa varia? In $\RR$?
Usare le sferiche non serve, chiediti quale sia la parità della funzione in ciascuna delle sue variabili e se il dominio è simmetrico.

Non viene specificato ma credo che $a$ varia in $\RR$.

Riporto l'esercizio riscritto:

Dati l'insieme \( S=\{(x,y,z): \ \ x^2+y^2+z^2\le1 \} \) e la funzione \( f(x,y,z)= |y|e^{x^2+3z^2}+a\log(3+x^4y^2)+\cosh(xy^4z^5) \),
Scegli un'alternativa:

1. \( \iiint_Sf\,dx\,dy\,dz=2 \iint_{S\cap\{(x,y,z): \ \ y\ge0\}}f\,dx\,dy\,dz \) per ogni valore di a, ma non è detto che \(
\iiint_Sf\,dx\,dy\,dz=4 \iint_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\, y\ge0\}}f\,dx\,dy\,dz \) per ogni a

2. \( \iiint_Sf\,dx\,dy\,dz \) non può essere negativo per nessun valore di a

3. \( \iiint_Sf\,dx\,dy\,dz=4 \iint_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\,y,\, z\ge0\}}f\,dx\,dy\,dz \) per ogni valore di a

4. \( \iiint_Sf\,dx\,dy\,dz=0 \) per qualsiasi valore di a

5. \( \iiint_Sf\,dx\,dy\,dz=8 \iint_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\,y,\, z\ge0\}}f\,dx\,dy\,dz \) per ogni valore di a

[mikandrea]

"arnett":Ah andava bene anche modificarlo ma non fa nulla, tra l'altro ti eri pers* una possibile risposta

Comunque: $f$ è pari o dispari rispetto a qualche variabile? Sai dire qualcosa sul segno di $f$?

La funzione dovrebbe essere pari, inoltre per quanto riguarda il segno $|y|e^{x^2+3z^2} $ è sempre maggiore di 0, $a*log(3+x^4y^2)$ sarà positivo per a>0 e $cosh(xy^4z^5)$ sarà sempre positivo.

[mikandrea]

"arnett":È pari rispetto a tutte e tre le variabili. La cosa essenziale da capire è questa. E cosa succede se integri una funzione pari (rispetto a una o due o tutte le variabili) su un dominio simmetrico?

In una variabile sarà il doppio dell'integrale di metà dominio, in due variabili sarà 4 volte l'integrale in \( x,\, y\ge0\ \) e in tre variabili sarà 8 volte l'integrale in \( x,\, y,z\ge0\ \). Corretto?
La risposta dovrebbe quindi essere la 5!

[mikandrea]

"arnett":Esatto

Grazie mille per la disponibilità