Polinomio trigonometrico
Devo calcolare i coefficienti $b_k$ per determinare il polinomio trigonometrico approssimante la funzione $f(x) =2x^2-9$ su sei punti equispaziati nell'intervallo $[-\pi, \pi] $
Basta fare $b_k=\sum_(j=0)^{5} (2x^2-9) sin(x_j)$,$x_j=-\pi+j/3\pi, j=0,\cdots,5$
Ecco la mia domanda, se fossi stato nel continuo, la formula avrebbe contenuto l'integrale invece della sommatoria e sarebbe stato subito a occhio zero perché avrei integrato su un intervallo simmetrico rispetto all'origine una funzione pari per una dispari.
Nel caso in esame, esplicintando i singoli valori e sommandoli viene anche zero, pertanto vi chiedo se magari avrei potuto dire subito che i coefficienti erano zero per qualche analoga proprietà. Grazie
Basta fare $b_k=\sum_(j=0)^{5} (2x^2-9) sin(x_j)$,$x_j=-\pi+j/3\pi, j=0,\cdots,5$
Ecco la mia domanda, se fossi stato nel continuo, la formula avrebbe contenuto l'integrale invece della sommatoria e sarebbe stato subito a occhio zero perché avrei integrato su un intervallo simmetrico rispetto all'origine una funzione pari per una dispari.
Nel caso in esame, esplicintando i singoli valori e sommandoli viene anche zero, pertanto vi chiedo se magari avrei potuto dire subito che i coefficienti erano zero per qualche analoga proprietà. Grazie
Risposte
Certo. È esattamente la stessa dimostrazione del caso continuo. L'addendo corrispondente a \(x_1\) è l'opposto di quello corrispondente a \(x_{-1}\) (visto che l'intervallo è simmetrico, ti conviene etichettare i punti con \(j=-2, -1, 0, 1, 2\)), stessa cosa per \(x_{-2}\), quindi l'unico che sopravvive è l'addendo \(x_0\). E siccome \(\sin(0)=0\), pure quello si annulla.
Grazie, quindi come nel caso continuo se la funzione è pari i coefficienti del seno sono nulli e se è dispari saranno nulli i coefficienti del coseno?
Inoltre mi aspetto che se aumento i punti della sommatoria dovrei ottenere un risultato che rende sempre più a quello del caso continuo, no?
Che poi, a mio parere, nelle applicazioni sempre col discreto lavorerò (Matlab, ecc), quindi quello continuo è migliore solo carta e penna! O no?
Inoltre mi aspetto che se aumento i punti della sommatoria dovrei ottenere un risultato che rende sempre più a quello del caso continuo, no?
Che poi, a mio parere, nelle applicazioni sempre col discreto lavorerò (Matlab, ecc), quindi quello continuo è migliore solo carta e penna! O no?
Tutto vero. La trasformata discreta di Fourier corrisponde ad approssimare i coefficienti della serie continua di Fourier col metodo del trapezio, mi pare. Ci sono formule e molti studi su questo tipo di approssimazioni, c'è anche della matematica di ricerca attuale dietro (purtroppo non ci capisco niente, però).
Comunque, chiaramente, per avere coefficienti nulli i nodi devono essere disposti in modo simmetrico rispetto all'origine.
Comunque, chiaramente, per avere coefficienti nulli i nodi devono essere disposti in modo simmetrico rispetto all'origine.
Grazie per la dritta. A presto!
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