Analisi matematica di base
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Studiare la convergenza al variare di a del seguente integrale
$int_(0)^(+00) (2sqrtx+3x)^a/(sqrtx(x+5)^(2a))$
Allora:
1) per a>0
per x che tende a +infinito l'integrale converge se a>1/2
per x che tende a 0 l'integrale converge se a>-1
2) per a=0
per x che tende a + infinito non converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo $1/2>1$ non verificato l'integrale non converge
per x che tende a 0 converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo ...
Buonasera a tutti. In un esercizio mi viene chiesto di disegnare a calcolare la lunghezza delle seguenti curve:
$\{(x(t) = e^t -1),(y(t)= (e^t -1)^2), (t in [0, log2]):}$
$\{(x(t) = e^t + e^-t),(y(t) = e^t - e^-t),(t in [-2, 1]):}$
Non ho assolutamente idea di come disegnarle. Ho pensato che la prima delle due curve è riconducibile ad un segmento di parabola, e la seconda a seno e coseno iperbolico, ma non so andare avanti.
Poi per la lunghezza ho dei problemi a svolgere gli integrali. Riguardo la prima curva arrivo a:
$\int_sqrt(4x^2-8x+5)dx$ dopo aver posto ...
Tornano gli esami e io torno nel forum, ma nemmeno questa volta purtroppo riesco a portare aiuto ad altri utenti.
Venendo al dunque ho questo esercizio:
Determinare il flusso di $F = x*i + z*j$ uscente dal tetraedro delimitato dai piani coordinati e dal piano $x + 2y +3z=6$
Il risultato del libro è 6 ma a me esce 18, ho rifatto l'esercizio per tre volte, non riesco a capire dove sbaglio, se sbaglio:
$dS = 1/3*i +2/3*j + k$
Quindi il Flusso è $ int_(0)^(6) dx int_(0)^(3-1/2x)1/9x-4/9y+4/3 $ $= 18$
Ditemi ...
Ho l'equazione
$z^3 -(2+i)z^2 + 2(1+i)z + a = 0$
La consegna è:
1- Determinare $a$ t.c. $z=i$ sia soluzione.
2- Per tale valore di $a$ determinare tutte le radici dell'equazione.
Il primo punto è facile, basta sostituire e si ottiene $a=2i$.
A questo punto, essendo $z=i$ soluzione posso scrivere:
$(z-i)(z^2 - 2z + 2) + 4i=0$
dove ho effettuato una semplice divisione tra polinomi (con resto $4i$).
Qui mi sono bloccato, perché pur ...
Ciao a tutti, avrei una semplice domanda:
Se ho una funazione a due variabli e un dato punto in cui il gradiente è nullo,
se riesco a determinare un intorno di tale punto in cui la funzione non cambia segno
posso concludere che tale punto è di massimo (nel caso in cui il segno dell'intorno sia $+$) o
di minimo (nel caso in cui il segno dell'intorno sia $-$)??? O devo per forza ricorrere all'hessiano?
Sto studiando alcuni teoremi di punto fisso, precisamente quello di Brouwer e quello di Schauder. Questo passaggio dalla dimensione finita a quella infinita mi ha fatto venire in mente una domanda:
Sia $E$ uno spazio normato e $K$ un suo sottoinsieme compatto. Definiamo $M="span"(K)$, il più piccolo sottospazio vettoriale di $E$ contenente $K$. Domanda: $M$ è finito-dimensionale?
In molti esercizi di limiti di successioni di distribuzioni di funzioni mi riduco al dimostrare il passaggio al limite sotto il segno di integrale, cioè mi basta trovare una una funzione localmente sommabile (grazie al fatto che ho e funzioni test che sono a supporto compatto) che mi maggiori il temine integrando, vi riporto un esempio semplice :
se ho la seguente funzione di distribuzione
$ (1)/(1+ n^2*t^2) $ considero $ lim_(n -> +oo)<1/(1+n^(2)*t^(2)),test(t)> -> lim_(n -> +oo)int_(-oo)^(+oo) 1/(1+n^2*t^2)*test(t)dt $
adesso devo dimostrare
...
buona sera a tutti!
Devo verificare il seguente limite
$lim_(x->+infty) x^4/(1-x^2) = -infty$
ma non sono del tutto convinto dei miei passaggi.
Li scrivo qui sperando che qualcuno possa darmi un parere.
Il limite è valido sse:
$AA K>0 EE bar(x) >0 t.c. AA x in dom(f), x>bar(x) rArr x^4/(1-x^2) < -K$
Parto quindi dall'ultima disuguaglianza:
$(x^4 - kx^2 + k)/(1-x^2)<0$
Dal numeratore ottengo:
$(k - sqrt(k^2-4k))/2 <x^2< (k + sqrt(k^2-4k))/2$
quindi basta scegliere:
$bar(x) = sqrt((k - sqrt(k^2-4k))/2)$
Non mi convince molto l'aver scelto quello che mi conveniva tralasciando il resto (cioè il denominatore ...
Allora oggi mi sono ritrovato con questa equazione differenziale .... premetto che non ne ho risolte moltissime ....
$2y'=-\frac{y}{x}+y^{3}\log x$
Allora per prima cosa ho osservato che se y1 è la soluzione dell'equazione differenziale $2y'=-\frac{y}{x}$ e y2 è la soluzione di $2y'=y^{3}\log x$ allora
y1+y2 è la soluzione dell'equazione differenziale inizialmente considerata.
Quindi ho ottenuto due equazioni differenziali del primo ordine omogenee alle quali applico il metodo formale per ottenere ...
Buon pomeriggio a tutti:
ho un esercizio in cui devo studiare la continuità la derivabilità e la differenziabilità della funzione $f(x,y)=|x|+|y|^(3/2):<br />
la prima domanda è la seguente: devo discutere la continuità suggli assi cartesiani e ho ragionato così: escludendo l'origine sugli assi cartesiani la funzione è continua. poi ho discusso a parte la continuità in (0,0) e in questo caso devo verificare quattro limiti? cioè devo calcolare i limiti della funzioni per x che tende a zero da volori più grandi o più piccoli? e lo stesso per y? (es. (x,y)-->(0+,0+), (x,y)-->(0+,0-), (x,y)-->(0-,0+), (x,y)-->(0-,0-)?)<br />
<br />
la seconda domanda è questa:per la derivabilità come ragiono? io applicherei la definizione di derivata parziale e calcolerei tali valori sugli assi cartesiani. per esempio $v(1,0) P_o(x_o,0)$ cioè sull'asse x:<br />
$lim_t->0 ((|0+t|,0)-f(0,0))/t$ $=1$ ma io in realtà so che non dovrebbe essere derivabile perché c'è il modulo... e che faccio quindi? soprattutto non riesco a calcolare limite destro e limite sinistro perché è con quelli che si dimostra che non è derivabile, come si fa in genere per funzioni in una ...
Buongiorno.
Devo calcolare con un errore $< 10^(-3)$ il seguente integrale:
$int_(-pi/2)^(pi/2) (1-cosx)/x^2 dx $
Penso di aver seguito il procedimento giusto ma alla fine il valore approssimato non si avvicina a quello reale (che secondo Wolfram è circa $1,46828$).
Ad ogni modo vi illustro il mio procedimento, sperando che qualcuno possa aiutarmi:
- Sviluppo in serie la funzione integranda:
$f(x) = (1-cosx)/x^2 = sum ((-1)^n * x^(2n)) / ((2^(n+1))!) $
- L'integrale diventa dunque:
$I = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!) * int_(-pi/2)^(pi/2) x^(2n)dx = sum ((-1)^n ) / ((2^(n+1))!)* (pi^(2n+1)/(2^(n+1))) = sum ((-1)^n (pi^(2n+1)))/ (2^(n+1)(2^(n+1))!)$
E qui mi sono ...
Ciao a tutti,
sono Domenico.
Chiedo gentilmente se potete aiutarmi nella risoluzione di tale integrale:
$int_{-oo}^{+oo}(1/(x^3+i))dx$.
Devo risolvere tale integrale con il teorema dei residui, utilizzando opportune semi-circonferenze.
Io procedo, trovando i poli della funzione, e calcolando i residui con parte $Im(z)>0$. Tale procedimento, credo non sia giusto, in quanto il risultato non è un numero reale.
Vi ringrazio anticipatamente se potreste aiutarmi..
[mod="dissonance"]Corretta ...
Salve ragazzi,
ho un problema sull'impostazione del problema di Cauchy,
y'=F(t,y)
y(t0)=k
io so che devo vedere dove la funzione F è derivabile e li è garantita l'unicita mentre dove è solo continua nn è garantita l'unicita.
i miei dubbi riguardano il secondo caso
1)se F è continua ma non derivabile in quel punto non ci sono altri modi di dimostrare che è unica o non le ho sicuramente?
2)nel disegnare i grafici delle soluzioni,le soluzioni particolari non influiscono sulle altre ...
salve volevo sapere se esiste una formula generale per risolvere i problemi di cauchy con le trasformate di laplace
grazie
[mod="Fioravante Patrone"]
Non ho resistito a vedere sempre Couchy...[/mod]
Buon giorno a tutti, ricomincia una nuova giornata piena di esercizi....
ho un paio di dubbi sullo studio di funzione posto un esempio per semplificare cioè che non ho capito...
Abbiamo la funzione $y=(x-1)/(x^2-3)$ quando vado a fare l'intersezione con l'asse delle x ponendo $y=0$ devo risolvere il sistema: ${((x-1)/(x^2-3)=0),(y=0):}$ però ora le soluzioni sono 3, perchè la prima devono valere 0 contemporaneamente numeratore e denominatore: ${((x-1)=0),(x^2-3=0):} rarr {(x=1),(x=+-sqrt3):}$ e quindi la funzione ...
Dire che f= o(g) e g=o(f), sempre per x->y, è una contraddizione?
Se io ho il limite per x-> $ oo $ di una funzione so,per la teoria,che sono autorizzata a raccogliere il fattore con esponente maggiore.Ma quando ho che x->0 si può fare la stessa cosa,o è solo sconsigliata?Perchè io per molti limiti con x-> non necessariamente a 0 ho fatto il raccoglimento,e mi uscivano.Ad esempio questo:
$ lim_(x->0)((2x+senx)/x)=lim_(x->0)(x(2+((senx)/x)))/x)=2+1=3 $
Cioè,dico,a parte il procedimento standard della scomposizione,è accettato anche questo?
Ciao a tutti,
volevo chiedervi un parere circa l'esattezza o meno del limite di questa funzione. Ovviamente lo risolvo solo a sinistra del punto, considerando che è lo stesso procedimento calcolato a destra del punto:
$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\tan x}{( 1+\tan x )^{2}}=\frac{+\infty }{+\infty }$
per sciogliere la forma indeterminata procedo in questo modo:
$\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\tan x}{( 1+\tan x )^{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{( 1+\frac{\sin x}{\cos x} )^{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos ^{2}x+2\sin x\cos x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1+2\sin x\cos x}{\cos ^{2}x}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\sin x\cos x}{1+2\sin x\cos x}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\frac{\sin 2x}{2}}{1+\sin 2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}^{-}}\frac{\sin 2x}{1+\sin 2x}=\frac{1}{2}\frac{\sin( 2\frac{\pi }{2} )}{1+\sin ( 2\frac{\pi }{2} )}=\frac{1}{2}\frac{\sin \pi^{-} }{1+\sin \pi^{-} }=\frac{1}{2}\frac{0^{-}}{1+0^{-}}=\frac{0^{-}}{2^{-}}=0^{-}$
Io lo risolverei così...voi?
Teorema:
Se $f$ è analitica in $B(z_0;R)$ con $R>0$ e
$"sup"_(z\inB(z_0;R))|f(z)|=M<oo$
allora $AA n \in ZZ_+$ abbiamo
$|f^(n)(z_0)|<=\frac{n!M}{R^n}$
Dimostrazione:
Utilizzando la formula integrale di Cauchy posso scrivere (con $0<r<R$):
$|f^(n)(z_0)|=|\frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{f(z)}{(z-z_0)^(n+1)}dz| <= \frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{M}{|z-z_0|^(n+1)}|dz|$
dove nell'ultimo passaggio ho utilizzato la disuguaglianza triangolare. A questo punto le dispense dicono che l'ultimo membro è uguale a:
$\frac{n!M}{r^n}$
Non riesco a capire questo passaggio.
Salve,
premetto che i limiti per me sono una stanza oscura senza un filo di luce! Sto cercando, per l'ennesima volta (studente di architettura, 6 anno alle prese con matematica 1) di capirci qualcosa ma non mi sembra di riuscire a venirne a capo!
Dunque.. uno dei tanti dubbi che non riesco a chiarire è il seguente:
$\lim_{x \to \0} (senx)$
nelle dispense del professore viene risolto con $\lim_{(x) \to \(0)} (senx)=1$ ma io non riesco a capire il perché! il sen0 = 0 non 1... uff.... spero che ci sia ...
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