Studio di funzione....
Buon giorno a tutti, ricomincia una nuova giornata piena di esercizi....
ho un paio di dubbi sullo studio di funzione posto un esempio per semplificare cioè che non ho capito...
Abbiamo la funzione $y=(x-1)/(x^2-3)$ quando vado a fare l'intersezione con l'asse delle x ponendo $y=0$ devo risolvere il sistema: ${((x-1)/(x^2-3)=0),(y=0):}$ però ora le soluzioni sono 3, perchè la prima devono valere 0 contemporaneamente numeratore e denominatore: ${((x-1)=0),(x^2-3=0):} rarr {(x=1),(x=+-sqrt3):}$ e quindi la funzione interseca l'asse delle x in: $A(1,0)$; $B(-sqrt3;0)$ e $C(sqrt3;0)$ possibile che si trovano tutti questi punti? secondo me sbaglio qualcosa...
ho un paio di dubbi sullo studio di funzione posto un esempio per semplificare cioè che non ho capito...
Abbiamo la funzione $y=(x-1)/(x^2-3)$ quando vado a fare l'intersezione con l'asse delle x ponendo $y=0$ devo risolvere il sistema: ${((x-1)/(x^2-3)=0),(y=0):}$ però ora le soluzioni sono 3, perchè la prima devono valere 0 contemporaneamente numeratore e denominatore: ${((x-1)=0),(x^2-3=0):} rarr {(x=1),(x=+-sqrt3):}$ e quindi la funzione interseca l'asse delle x in: $A(1,0)$; $B(-sqrt3;0)$ e $C(sqrt3;0)$ possibile che si trovano tutti questi punti? secondo me sbaglio qualcosa...
Risposte
beh si!
perchè affinché una funzione del tipo $f(x)=(p(x))/(q(x))$ sia uguale a zero si deve porre $p(x)=0$
perchè affinché una funzione del tipo $f(x)=(p(x))/(q(x))$ sia uguale a zero si deve porre $p(x)=0$
Non ha senso porre $x^2-3=0$ in quanto è il denominatore di una frazione e per definizione esso è sempre $!=$ da zero, per l'esistenza della frazione stessa.
ho capito quindi devo mettere a sistema solo il numeratore e così trovo solo un punto....
Si. Cerca sempre di inquadrare le proprietà delle funzioni che hai davanti...
ma c'è un programma che inserisco la funzione e disegna il grafico perchè io vado per logica, ma dopo un esercizio giusto per una soddisfazione almeno vado a dormire con un pensiero in meno...... 
giusto su questo hai ragione tu......
mentre per gli asintoti sempre per la stessa funzione ho detto: i verticali non ci sono dato che la funzione è definita in tutto $RR$ allora andiamo a vedere gli orizzontali: per esistere gli orizzontali si deve verificare che il $lim_(x->oo)f(x)=k$:
allora $lim_(x->+oo)(x-1)/(x^2-3)=+oo$
$lim_(x->-oo)(x-1)/(x^2-3)=+oo$ quindi non ci sono asintoti orizzontali.....
provo con gli obliqui che si deve verificare che $m=lim_(x->oo)f(x)/x=lim_(x->oo)(x-1)/(x*(x^2-3))= lim_(x->oo)(x-1)/(x*[x^2(1-3/x^2)]$ il temine $(1-3/x^2)$ tende a $1$ e il lom diventa $lim_(x->oo)(x-1)/x^3=oo/oo$ usando gli infinitesimi prevale $x^3$ e il $lim_(x->+-oo)=+-oo$ e non ce ne sono asintoti obliqui....... ho fatto bene?
mentre per gli asintoti sempre per la stessa funzione ho detto: i verticali non ci sono dato che la funzione è definita in tutto $RR$ allora andiamo a vedere gli orizzontali: per esistere gli orizzontali si deve verificare che il $lim_(x->oo)f(x)=k$:
allora $lim_(x->+oo)(x-1)/(x^2-3)=+oo$
$lim_(x->-oo)(x-1)/(x^2-3)=+oo$ quindi non ci sono asintoti orizzontali.....
provo con gli obliqui che si deve verificare che $m=lim_(x->oo)f(x)/x=lim_(x->oo)(x-1)/(x*(x^2-3))= lim_(x->oo)(x-1)/(x*[x^2(1-3/x^2)]$ il temine $(1-3/x^2)$ tende a $1$ e il lom diventa $lim_(x->oo)(x-1)/x^3=oo/oo$ usando gli infinitesimi prevale $x^3$ e il $lim_(x->+-oo)=+-oo$ e non ce ne sono asintoti obliqui....... ho fatto bene?
Stai attento agli asintoti orizzontali! Entrambi i tuoi limiti sono sbagliati (commetti lo stesso errore):
$lim_(x->+oo)(x-1)/(x^2-3)=lim_(x->+oo)x/x^2=lim_(x->+oo)1/x=0$ e cosi anche nell'altro, ok? (E quindi ci sarà un asintoto orizzontale di equazione...)
EDIT: La funzione non è definita per ogni numero reale! Attento! Ci sono anche due asintoti verticali.
$lim_(x->+oo)(x-1)/(x^2-3)=lim_(x->+oo)x/x^2=lim_(x->+oo)1/x=0$ e cosi anche nell'altro, ok? (E quindi ci sarà un asintoto orizzontale di equazione...)
EDIT: La funzione non è definita per ogni numero reale! Attento! Ci sono anche due asintoti verticali.
accidenti credo di aver sbagliato a ricopiare l'esercizio la funzione è: $y=(x-1)/(x^2+3)$ quindi nn ci sono asintoti verticali......l'orizzontale ha equazione $y=0$ quindi l'asse delle $x$ fa da asintoto, possibile??? a me dice che si interseca pure....
Certo che è possibile. $y=0$ è effettivamente asintoto orizzontale per $ xrarr +oo $ e per $ xrarr -oo $. Ciò non vieta che il grafico della tua funzione possa comunque intersecare l'asse delle ascisse prima di "regolarizzarsi". Per trovare tale intersezione basta risolvere l'equazione $(x-1)/(x^2+3)=0$.
EDIT: Scusa per l'abnorme ritardo mio nel rispondere, ma ieri sera non ero in casa
EDIT: Scusa per l'abnorme ritardo mio nel rispondere, ma ieri sera non ero in casa
ok si ho capito grazie mille............non preoccuparti....
poi ho un dubbio sempre sugli asintoti di questa funzione molto semplice: $y=2x^3-3x^2+1$:
di verticali non ce ne sono poichè non ci sono punti di discontinuità..
poi gli obliqui non ce ne sono:
$lim_(x->oo)(2x^3-3x^2+1)/x= lim_(x->oo)(x^3(2-3/x+1/x^3))/x= lim_(x->oo)(2x^3)/x= lim_(x->+-oo)(2x^2)=+oo$
l' orizzontale ne vado a fare il limite all'infinito ed ho: $lim_(x->oo)2x^3-3x^2+1$ guardando gli infiniti di ordine superiore ho che il $lim_(x->oo)2x^3= +-oo$ e quindi non dovrebbe esistere l'asintoto però se vado ad applicare L'Hopital due volte ho che il limite tende a 12, ora quale limite è giusto?
poi ho un dubbio sempre sugli asintoti di questa funzione molto semplice: $y=2x^3-3x^2+1$:
di verticali non ce ne sono poichè non ci sono punti di discontinuità..
poi gli obliqui non ce ne sono:
$lim_(x->oo)(2x^3-3x^2+1)/x= lim_(x->oo)(x^3(2-3/x+1/x^3))/x= lim_(x->oo)(2x^3)/x= lim_(x->+-oo)(2x^2)=+oo$
l' orizzontale ne vado a fare il limite all'infinito ed ho: $lim_(x->oo)2x^3-3x^2+1$ guardando gli infiniti di ordine superiore ho che il $lim_(x->oo)2x^3= +-oo$ e quindi non dovrebbe esistere l'asintoto però se vado ad applicare L'Hopital due volte ho che il limite tende a 12, ora quale limite è giusto?
Ti consiglio di studiare prima la ricerca degli eventuali asintoti orizzontali e poi quelli obliqui, perchè se i primi esistono è inutile cercare i secondi. Comunque seguendo i tuoi calcoli mi trovo con te, cioè:
$lim_(x->oo)(2x^3-3x^2+1)/x=+oo$
quindi possiamo concludere che non ci sono nemmeno gli obliqui. Hopital è inutile applicarlo perchè non hai una forma indeterminata del tipo $oo/oo , 0/0$
$lim_(x->oo)(2x^3-3x^2+1)/x=+oo$
quindi possiamo concludere che non ci sono nemmeno gli obliqui. Hopital è inutile applicarlo perchè non hai una forma indeterminata del tipo $oo/oo , 0/0$
ok capito.... ma non possono esistere tutti e tre giusto?
tutti è tre insieme no, perchè ti ripeto la condizione importante è che "se esiste quello orizzontale non esiste l'obliquo". Anche perchè l'asintoto obliquo lo puoi vedere come un asintoto orizzontale solo più inclinato 
ah ho capito... ad esempio però ho quella funzione: $y=sqrt(2x^2-3x+2)/(x-3)$
il verticale esiste in 3: $lim_(x->3)sqrt(2x^2-3x+2)/(x-3)=+-oo$ che è asintoto verticale in $x=3$
l'orizzontale esiste ed è: $lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x-3)= lim_(x->oo)sqrt(x^2(1-3/x+2/x^2))/(x-3)= |x|/(x-3)=x/x=1$ ed è asintoto
ora non ci dovrebbero essere gli obliqui però esiste lo stesso $lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x(x-3))=$ $ lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x^2-3x)=$ $lim_(x->oo)sqrt(x^2(1-3/x+2/x^2))/(x^2(1-3/x))= lim_(x->oo) x/x^2=0$ ed esiste se non ho sbagliato a fare i conti.... come è possibile?
il verticale esiste in 3: $lim_(x->3)sqrt(2x^2-3x+2)/(x-3)=+-oo$ che è asintoto verticale in $x=3$
l'orizzontale esiste ed è: $lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x-3)= lim_(x->oo)sqrt(x^2(1-3/x+2/x^2))/(x-3)= |x|/(x-3)=x/x=1$ ed è asintoto
ora non ci dovrebbero essere gli obliqui però esiste lo stesso $lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x(x-3))=$ $ lim_(x->oo)sqrt(2x^2-3x+2)/(x^2-3x)=$ $lim_(x->oo)sqrt(x^2(1-3/x+2/x^2))/(x^2(1-3/x))= lim_(x->oo) x/x^2=0$ ed esiste se non ho sbagliato a fare i conti.... come è possibile?
Allora per quanto riguarda l'orizzontale, la tua discussione va bene fino ad un certo punto, cioè fino a qui: $lim_(x->oo)|x|/x$
Ora devi precisare, perchè a seconda del valore a cui tende x hai due risultati differenti, cioè:
$|x|/x= { ( x/x=1 , x->+oo ),( -x/x=-1 , x->-oo ):} $
Per quanto riguarda l'esistenza dell'obliquo, come ti ho già detto in precedenza, se esiste l'orizzontale non ci può essere l'obliquo, ed infatti a te nei calcoli ti è uscito che $m=0$ ma questa non è una condizione necessaria che garantisce l'esistenza dell'asintoto obliquo. Anzi possiamo proprio dire il contrario, cioè che se $m=0$ allora non esiste l'obliquo, in quanto l'asintoto obliquo è una retta del tipo $y=mx+q$ se $m=0$ al massimo avrai $y=q$ (che è la forma generale di una retta parallela all'asse x) che è un asintoto orizzontale, non obliquo.
Comunque se scopri che esiste l'asintoto orizzontale non ti sfiacchire proprio a cercare l'obliquo perchè non lo troverai mai
Ora devi precisare, perchè a seconda del valore a cui tende x hai due risultati differenti, cioè:
$|x|/x= { ( x/x=1 , x->+oo ),( -x/x=-1 , x->-oo ):} $
Per quanto riguarda l'esistenza dell'obliquo, come ti ho già detto in precedenza, se esiste l'orizzontale non ci può essere l'obliquo, ed infatti a te nei calcoli ti è uscito che $m=0$ ma questa non è una condizione necessaria che garantisce l'esistenza dell'asintoto obliquo. Anzi possiamo proprio dire il contrario, cioè che se $m=0$ allora non esiste l'obliquo, in quanto l'asintoto obliquo è una retta del tipo $y=mx+q$ se $m=0$ al massimo avrai $y=q$ (che è la forma generale di una retta parallela all'asse x) che è un asintoto orizzontale, non obliquo.
Comunque se scopri che esiste l'asintoto orizzontale non ti sfiacchire proprio a cercare l'obliquo perchè non lo troverai mai
"Lorin":
Allora per quanto riguarda l'orizzontale, la tua discussione va bene fino ad un certo punto, cioè fino a qui: $lim_(x->oo)|x|/x$
Ora devi precisare, perchè a seconda del valore a cui tende x hai due risultati differenti, cioè:
$|x|/x= { ( x/x=1 , x->+oo ),( -x/x=-1 , x->-oo ):} $
ma non è sempre positivo quel valore assoluto dato che ho portato fuori la $x^2$????....
No no il passaggio $sqrt(x^2)=|x|$ ti garantisce solo di non sbagliare il segno della x (essendo variabile, non si sa quanto vale). Comunque prova a ragionare proprio sulla proprietà fondamentale del valore assoluto, cioè:
$ |x|={ ( x , x>=0),( -x , x<0):} $
Un conto è che tu sai già quanto vale la quantità sotto radice (cioè quando x è un numero), un conto è che tu hai una variabile. Capito!?
$ |x|={ ( x , x>=0),( -x , x<0):} $
Un conto è che tu sai già quanto vale la quantità sotto radice (cioè quando x è un numero), un conto è che tu hai una variabile. Capito!?
ma sotto radice c'è un quadrato e dunque è certamente positivo quindi la radice esiste; però non si sa se x è positiva o negativa, ma dato che la radice quadrata è col segno più, la x è positiva....
Quindi tu stai dicendo che $sqrt(x^2)=x$?!
Prova a leggere anche questa discussione, ci sono diversi interventi che rendono chiara la questione.
https://www.matematicamente.it/forum/tra ... 66457.html
https://www.matematicamente.it/forum/tra ... 66457.html
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