Stima di Cauchy
Teorema:
Se $f$ è analitica in $B(z_0;R)$ con $R>0$ e
$"sup"_(z\inB(z_0;R))|f(z)|=M
allora $AA n \in ZZ_+$ abbiamo
$|f^(n)(z_0)|<=\frac{n!M}{R^n}$
Dimostrazione:
Utilizzando la formula integrale di Cauchy posso scrivere (con $0
$|f^(n)(z_0)|=|\frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{f(z)}{(z-z_0)^(n+1)}dz| <= \frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{M}{|z-z_0|^(n+1)}|dz|$
dove nell'ultimo passaggio ho utilizzato la disuguaglianza triangolare. A questo punto le dispense dicono che l'ultimo membro è uguale a:
$\frac{n!M}{r^n}$
Non riesco a capire questo passaggio.
Se $f$ è analitica in $B(z_0;R)$ con $R>0$ e
$"sup"_(z\inB(z_0;R))|f(z)|=M
allora $AA n \in ZZ_+$ abbiamo
$|f^(n)(z_0)|<=\frac{n!M}{R^n}$
Dimostrazione:
Utilizzando la formula integrale di Cauchy posso scrivere (con $0
$|f^(n)(z_0)|=|\frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{f(z)}{(z-z_0)^(n+1)}dz| <= \frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{M}{|z-z_0|^(n+1)}|dz|$
dove nell'ultimo passaggio ho utilizzato la disuguaglianza triangolare. A questo punto le dispense dicono che l'ultimo membro è uguale a:
$\frac{n!M}{r^n}$
Non riesco a capire questo passaggio.
Risposte
Stai integrando su [tex]$C(z_0;r):=\{ z:\ |z-z_0|=r\}$[/tex], quindi...
Quindi se capisco bene è:
$|f^(n)(z_0)|=|\frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{f(z)}{(z-z_0)^(n+1)}dz| <= \frac{n!}{2pi}int_(C(z_0;r))\frac{M}{r^(n+1)}|dz|=\frac{n!M}{2pir^(n+1)}int_(C(z_0;r))|dz|=\frac{n!M}{2pir^(n+1)}*2pir=\frac{n!M}{r^n}$
Se non ci fosse il valore assoluto $|dz|$ l'integrale sarebbe nullo vero?
Poi faccio tendere $r->R^-$ e ottengo la tesi.
E' corretto?
[EDIT] ho modificato grazie alla correzione di Gugo
$|f^(n)(z_0)|=|\frac{n!}{2pii}int_(C(z_0;r))\frac{f(z)}{(z-z_0)^(n+1)}dz| <= \frac{n!}{2pi}int_(C(z_0;r))\frac{M}{r^(n+1)}|dz|=\frac{n!M}{2pir^(n+1)}int_(C(z_0;r))|dz|=\frac{n!M}{2pir^(n+1)}*2pir=\frac{n!M}{r^n}$
Se non ci fosse il valore assoluto $|dz|$ l'integrale sarebbe nullo vero?
Poi faccio tendere $r->R^-$ e ottengo la tesi.
E' corretto?
[EDIT] ho modificato grazie alla correzione di Gugo
Quasi tutto giusto, però è sbagliata la maggiorazione all'inizio: infatti tu stai portando fuori dal modulo un fattore [tex]$\tfrac{n!}{2\pi \imath}$[/tex], quindi devi prenderne il modulo ossia [tex]$\tfrac{n!}{2\pi}$[/tex].
Inoltre [tex]$\int_{C(z_0;r)} |\text{d} z|$[/tex] fornisce la lunghezza della curva [tex]$C(z_0;r)$[/tex], ovvero [tex]$2\pi r$[/tex], e non [tex]$2\pi \imath$[/tex] come riportato.
Per quanto riguarda l'ultima osservazione, la risposta è sì: ovviamente perchè la funzione [tex]$1$[/tex] è olomorfa e vale il teorema integrale di Cauchy.
Inoltre [tex]$\int_{C(z_0;r)} |\text{d} z|$[/tex] fornisce la lunghezza della curva [tex]$C(z_0;r)$[/tex], ovvero [tex]$2\pi r$[/tex], e non [tex]$2\pi \imath$[/tex] come riportato.
Per quanto riguarda l'ultima osservazione, la risposta è sì: ovviamente perchè la funzione [tex]$1$[/tex] è olomorfa e vale il teorema integrale di Cauchy.
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