Risoluzione Convergenza Integrale al variare di alfa
Studiare la convergenza al variare di a del seguente integrale
$int_(0)^(+00) (2sqrtx+3x)^a/(sqrtx(x+5)^(2a))$
Allora:
1) per a>0
per x che tende a +infinito l'integrale converge se a>1/2
per x che tende a 0 l'integrale converge se a>-1
2) per a=0
per x che tende a + infinito non converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo $1/2>1$ non verificato l'integrale non converge
per x che tende a 0 converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo $1/2<1$ verificato l'integrale converge
3) per a<0 come si studia?
Il mio problema è sapere se devo mettere al posto di a, -a e poi studiarla normalmente o fare qualcos'altro.
Grazie
$int_(0)^(+00) (2sqrtx+3x)^a/(sqrtx(x+5)^(2a))$
Allora:
1) per a>0
per x che tende a +infinito l'integrale converge se a>1/2
per x che tende a 0 l'integrale converge se a>-1
2) per a=0
per x che tende a + infinito non converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo $1/2>1$ non verificato l'integrale non converge
per x che tende a 0 converge perchè ci rimarrebbe solo $1/sqrtx$ ed essendo $1/2<1$ verificato l'integrale converge
3) per a<0 come si studia?
Il mio problema è sapere se devo mettere al posto di a, -a e poi studiarla normalmente o fare qualcos'altro.
Grazie
Risposte
Per prima cosa, la funzione integranda si può scrivere come
[tex]$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}+3x}{(x+5)^2}\right)^a$[/tex]
per cui, ragionando per ordini di infinito e infinitesimo si ha
[tex]$f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{3x}{x^2}\right)^a=\frac{3^a}{x^{a+1/2}},\qquad x\to+\infty$[/tex]
[tex]$f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}}{5}\right)^a=\frac{2^a}{5^a x^{1/2-a/2}},\qquad x\to0$[/tex]
per cui hai convergenza, rispettivamente, se e solo se [tex]$a+1/2>1,\ 1/2-a/2<1$[/tex] da cui [tex]$a>1/2,\ a>-1$[/tex] e quindi perché l'integrale converga deve essere [tex]$a>1/2$[/tex]
[tex]$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}+3x}{(x+5)^2}\right)^a$[/tex]
per cui, ragionando per ordini di infinito e infinitesimo si ha
[tex]$f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{3x}{x^2}\right)^a=\frac{3^a}{x^{a+1/2}},\qquad x\to+\infty$[/tex]
[tex]$f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2\sqrt{x}}{5}\right)^a=\frac{2^a}{5^a x^{1/2-a/2}},\qquad x\to0$[/tex]
per cui hai convergenza, rispettivamente, se e solo se [tex]$a+1/2>1,\ 1/2-a/2<1$[/tex] da cui [tex]$a>1/2,\ a>-1$[/tex] e quindi perché l'integrale converga deve essere [tex]$a>1/2$[/tex]
Grazie. Il caso da te scritto riguarda a>0 (anche a me venivano quelle soluzioni solo che la seconda l'avevo sbagliata a scrivere, ora ho editato e l'ho scritta). Questo è il caso che sapevo fare. Poi c'è il caso a=0 in cui si imposta a=0 e si vede che succede.
Infine c'è il caso a<0 che non sono sicuro di sapere fare...Sono stato chiaro o mi spiego meglio?
Per ora sappiamo che dato a>0 l'integrale converge se a>1/2 ma cosa succede se a<0?
Grazie per l'aiuto
Infine c'è il caso a<0 che non sono sicuro di sapere fare...Sono stato chiaro o mi spiego meglio?
Per ora sappiamo che dato a>0 l'integrale converge se a>1/2 ma cosa succede se a<0?
Grazie per l'aiuto
Scarface, forse non ti è chiaro: se lo risolvi come dico io, eviti di dividere i casi in $a>0,\ a=0, a<0$. Consideri $a$ generica e fai i conti del caso.
Si lo so ma il mio professore lo vuole diviso in 3 casi e io non ho capito il caso a<0 
Nessuno sa aiutarmi?
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