Calcolo dei residui

[claudio_p88]

ho la seguente funzione \(\displaystyle Y(s)= \frac{sb-1}{s^2+2} \), vorrei calcolare i residui, ho proceduto in questo modo:
scomponendo ottengo \(\displaystyle \frac{sb-1}{s^2+2} = \frac{As+B}{(s-\sqrt{2}i)(s+\sqrt{2}i)} \)
\(\displaystyle As+B =2 Res(\frac{sb-1}{s^2+2},\sqrt{2}i)= 2lim_{s\to \sqrt2i} \frac{sb-1}{s+\sqrt2i} = \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\), avrei due domande.
1) il prcedimento è giusto?
2)arrivato al punto in cui ho \(\displaystyle \frac{\sqrt2ib-1}{\sqrt2i}\) come faccio a individuare il residuo togliendo la i, cioè quale dovrebbe essere il risultato finale?

[walter891]

per togliere la $i$ devi solamente razionalizzare il denominatore, a me il residuo in $isqrt2$ viene $(i+bsqrt2)/(2sqrt2)$
ovviamente i residui sono 2 e manca quello nel punto $-isqrt2$

[claudio_p88]

Sì il risultato mi viene uguale, logicamente io avevo già semplificato con la moltiplicazione per due, cerco di riformulare la domanda, adesso come scrivo l'antitrasformata della funzione essendomi calcolato il residuo?

[claudio_p88]

ho provato a risolvere per conto mio, avrò \(\displaystyle Res(\frac{sb-1}{s^2+2},-\sqrt2i)= \frac{b\sqrt2+i}{2\sqrt2} \) e \(\displaystyle Res(\frac{sb-1}{s^2+2}, \sqrt2i)= \frac{b\sqrt2-i}{2\sqrt2}\) adesso \(\displaystyle Y(s)= (\frac{b\sqrt2+i}{2\sqrt2})\frac{1}{s+\sqrt2i}+(\frac{b\sqrt2-i}{2\sqrt2})\frac{1}{s+-\sqrt2i} \), ora voglio calcolarmi l'antitrasformata di Y(s), il risultato esatto del libro è \(\displaystyle y(t)=(b+\frac{1}{2})cos\sqrt2t-\frac{1}{2} \), quello che non riesco a capire è come si arrivi a tale risultato visto che dai miei calcoli mi ritrovo con \(\displaystyle y(t) = b(cosh(\sqrt2t)) +\frac{1}{2\sqrt2}(e^{\sqrt2t}-e^{-\sqrt2t})\) che al massimo è uguale a \(\displaystyle y(t) = b(cosh(\sqrt2t)) +\frac{1}{\sqrt2}(sinh(\sqrt2t)) \) perchè?

[claudio_p88]

qualcuno che mi toglie questo dubbio per piacere