Equazione differenziale nell'intorno dell'infinito

[5mrkv]

Ho $u(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ e $L^2(\mathbb{R})$ e ho, per $a\in \mathbb{R}$
\[
\ddot u+(a-x^{2})u=0
\]
Forse intuisco il perché, ma non capisco come mai nell'intorno dell'infinito
\[
\ddot u-x^{2}u=0
\]
Ho pensato a qualcosa come $|f(x)| \/ |g(x)| \rightarrow \lambda \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow \infty$ e posso scrivere
\[
0=f(x)=O[g(x)]\Rightarrow 0=\ddot u+(a-x^{2})u=O[\ddot u-x^{2}u]
\]
Ma devo verificarlo quindi
\[
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u+(a-x^{2})u}{\ddot u-x^{2}u}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\ddot u / u +a-x^{2}}{\ddot u / u-x^{2}}=\lambda \in \mathbb{R}
\]
E $\lambda=1$? Ma poi che senso ha $f(x)=\ddot u-x^{2}u=0$ se io sto cercando di mostrare che $0=O[f(x)]$ ?

[Rigel1]

Per \(x\) mooooooolto grande hai che \(a-x^2 \sim -x^2\).

[5mrkv]

Ma come la scrivo questa cosa? Voglio dire, formalmente. Perché ho anche il resto dell'equazione dietro. O mi basta sapere che sono asintotici?