Convergenza nel senso delle misure o delle distribuzioni

[dissonance]

Prendiamo una successione di funzioni \(K_n\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) e consideriamo la delta di Dirac \(\delta\). Ci sono due modi di convergenza possibili per \(K_n \to \delta\):
[list=1][*:nyrfac0j]nel senso delle misure (*), se per ogni \(\phi\), continua e a supporto compatto, risulta

\[\int_{-\infty}^\infty K_n(x)\phi(x)\, dx \to \phi(0); \][/*:m:nyrfac0j]
[*:nyrfac0j]nel senso delle distribuzioni, se succede la stessa cosa ma solo per \(\phi\) di classe \(C^\infty\), oltre che a supporto compatto.[/*:m:nyrfac0j][/list:o:nyrfac0j]
Riflettevo sul fatto che questi due modi di convergenza non sono diversi solo a livello formale, come avrei detto a prima impressione, ma che la differenza è invece molto profonda e può succedere che 2 non implichi 1. Per esempio, se invece che sulla retta ci mettiamo sulla circonferenza, le due successioni di funzioni

\[D_n(x)=\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}, \quad \text{nuclei di Dirichlet}, \]
\[F_n(x) = \frac{1}{n} \left(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2, \quad \text{nuclei di Fejér}, \]

dovrebbero fornire un esempio: \(F_n \to \delta\) in entrambi i sensi, mentre \(D_n\) NON converge alla \(\delta\) nel senso delle misure ma lo fa nel senso delle distribuzioni.

Domanda 1: E' corretto questo? Non sono affermazioni facili da verificare (per me), ma penso che siano conseguenze della teoria classica delle serie trigonometriche.
Domanda 2: Come fabbricare un esempio analogo sulla retta?

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(*) Non credo sia la terminologia più usata... Forse in genere si parla di "convergenza vaga" o qualcosa di simile. Ma comunque, ci capiamo lo stesso.