Imporre passaggio per un punto che varia nel tempo

[squirrel_anna]

Salve! ho un problema con un pezzo di un esercizio di geometria differenziale. Devo scrivere l'equazione parametrica della retta tangente e della retta normale a $\beta$ in $\beta(t)$. Ho iniziato col primo punto ma mi sono bloccata perchè io so che $\beta=(3/2t-t^3,3t^2,t^3-3/2t)$. la tangente a $\beta$ è data dalla sua derivata prima ossia $\beta'=(3/2-3t^2,6t,3t^2-3/2)$ . ora non capisco come faccio ad imporre il passaggio per un punto che dipende anch'esso da t. La soluzione del mio prof dice che la tangente che cerco è data da $T(u,t)=\beta(t)+u*\beta'(t)$ dove $u$ è il parametro che descrive il punto che varia sulla retta tangente. Come fa ad ottenere questa formula? mi rifiuto di assumerla per buona e vorrei capire come fare i calcoli a mano almeno in linea di principio ( questa formula ce l'ha data per risolvere con Mathematica ) . Grazie a tutti x l'aiuto!

[gugo82]

Beh, quando hai un punto \(\beta\) ed un vettore direzionale \(\beta^\prime\), l'equazione della retta per \(\beta\) con direzione \(\beta^\prime\) è del tipo:
\[
T(s):= \beta +s\ \beta^\prime\qquad \text{, con } s\in \mathbb{R}\; ;
\]
se al posto di \(\beta,\ \beta^\prime\) sostituisci \(\beta (t),\beta^\prime (t)\) ottieni la tua equazione.

Ah, e fai molta attenzione: non devi confondere il parametro corrente sulla curva con quello corrente sulla retta tangente; è per questo che si usa il parametro \(s\) (o \(u\) nella notazione del tuo prof) sulla retta tangente, al posto di usare il "canonico" \(t\) che si usa per le equazioni parametrica di una retta... Ma come ben sai, il nome di un parametro non influenza un'equazione.

[squirrel_anna]

"gugo82":Beh, quando hai un punto \(\beta\) ed un vettore direzionale \(\beta^\prime\), l'equazione della retta per \(\beta\) con direzione \(\beta^\prime\) è del tipo:
\[
T(s):= \beta +s\ \beta^\prime\qquad \text{, con } s\in \mathbb{R}\; ;
\]

Mi mancava questo punto... mai visto prima d'ora...

[squirrel_anna]

Ma scusa non sto capendo una cosa... s è un parametro cioè il parametro finale della tangente che cerco. ma scusa alla fine come faccio ad ottenere una equazione parametrica del solo parametro s? mi rimane cmq la t...