Serie a termini a segno alternato
Ciao a tutti, ho un problema con una serie a termini a segno alterno. La serie in questione è \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n}\]
Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere. Qualche suggerimento? Grazie in anticipo.
Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere. Qualche suggerimento? Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?
Innanzitutto, sei sicuro che questa serie sia a segni alterni?
Ciao riccardoob,
Bellina... Non solo converge, ma è anche abbastanza agevole determinarne la somma:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = -1/2 ln(2) $
"riccardoob":
Non so proprio da dove cominciare per studiarne il carattere.
Bellina... Non solo converge, ma è anche abbastanza agevole determinarne la somma:
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = -1/2 ln(2) $
"Mephlip":
Ciao! Benvenuto sul forum.
Le regole richiedono che tu scriva almeno un tentativo di risoluzione, comunque ti do un indizio: suddividi i casi per $n$ dispari ed $n$ pari.
Fatto ciò, che criteri conosci per le serie a termini di segno alterno?
In che senso separare i casi per $n$ pari o dispari? Comunque conosco solo il criterio di Leibniz per questo tipo di serie.
Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.
"Mephlip":
Nel senso che suddividi lo studio in due casi che lo facilitano: per $n$ pari hai che $n$ si scrive come $2m$ con $m\in\mathbb{N}$ e per $n$ dispari hai che $n$ si scrive come $2m+1$ con $m\in\mathbb{N}$.
Ok, tuttavia il criterio di Leibniz si usa per termini di segno alterno; quindi torniamo alla domanda che ti ha fatto gugo82.
Ok ho separato i casi pari e dispari: per valori pari di $n$, il valore di \(\cos({\frac{\pi}{2}n)}\) oscilla tra $1$ e $-1$, per valori dispari di $n$ vale $0$; per questo credo che la serie sia a segni alterni.
“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)
"gugo82":
“Credo che” Matematica non è; Matematica “essere” o “non essere” è. (Cit. Yoda)
Questa è fantastica... 
@riccardoob
Seguendo il suggerimento che ti ha già dato Mephlip si ha:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{cos(\frac{\pi}{2}n)}{n} = {(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{cos(m\pi)}{2m} \text{ per } n = 2m \text{ pari}),(),(0 \qquad \qquad \text{ per } n=2m + 1 \text{ dispari}):}$
Quindi?
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