Limite a-omogenea

[lorenzo1234567]

Buonasera, ho da calcolare il seguente limite $ lim_(0,0) sin(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $.
Si effettuano le moltiplicazioni e divisioni per poter sfruttare il limite notevole sul seno arrivando a $ sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2)*(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $. La "prima parte" è appunto il limite notevole (che fa 1), la "seconda parte" sfrutta il teorema sulle a-omogenee con a>0. Ciò che non capisco è come il professore abbia fatto a dire che la funzione $(x^2+y^2)/sqrt(x^2+2y^2) $ è limitata sull'intersezione tra la sfera di raggio 1 e il suo dominio (ipotesi del teorema).

[pilloeffe]

Ciao Lorenzo_99,

Beh, la funzione proposta è limitata, infatti passando alle coordinate polari si ha:

$\sqrt(x^2+2y^2) = \sqrt(x^2+y^2 + y^2) = \sqrt(\rho^2 + \rho^2 sin^2 \theta) = \rho \sqrt(1 + sin^2 \theta)$

Dato che $0 <= sin^2\theta <= 1 $, si ha:

$ \rho <= \sqrt(x^2+2y^2) <= sqrt2 \rho $

Passando ai reciproci si ha:

$ 1/(sqrt2 \rho) < 1/(\sqrt(x^2+2y^2)) < 1/\rho $

Moltiplicando tutto per $\rho^2 = x^2 + y^2 $ in definitiva si ha:

$ sqrt2/2 \rho < (x^2 + y^2)/(\sqrt(x^2+2y^2)) < \rho $