Proprietà dell'integrale di Riemann

[Aletzunny1]

Ho cercato su diversi testi e online la dimostrazione di queste 3 proprietà dell'integrale di Riemann ma non ho davvero trovare nulla.

siano $f$ e $g$ dall'intervallo $I->R$ Riemann integrabili allora:

$1)$ $f*g$ è integrabile ma $\int_I f(x)dx$ $*$ $\int_I g(x)dx$ $!=$ $\int_I (f*g)(x)dx$

$2)$ se $I= J_1 uu J_2$ , $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $J_1$ e su $J_2$ e vale
$\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_(J_1) f(x)dx$ $+$ $\int_(J_2) f(x)dx$ $-$ $\int_(J_1 nn J_2) f(x)dx$

$3)$ se $f$ e $g$: $I->R$ sono limitate su $I$ limitato e $f=g$ eccetto che in un numero finito di punti allora $f$ è Riemann integrabile se e solo se $g$ lo è e in tal caso $\int_I f(x)dx$ $=$ $\int_I g(x)dx$


Grazie a chi mi aiuterà

[Mephlip]

Per quanto riguarda la prima, non la devi dimostrare: basta trovare un controesempio, prova con $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ su $I=[0,1]$.
Per la seconda, se vuoi una dimostrazione intuitiva disegna i diagrammi di Venn e noterai che l'intersezione è contata due volte nell'integrazione e dunque va sottratta; per una dimostrazione rigorosa usa le descrizioni insiemistiche di $J_1$, $J_2$ e $J_1 \cup J_2$.
Per la terza, se $f \ne g$ nei punti $x_1,...,x_n$ con $a < x_1 <... $$\int_a^b f(x) \text{d}x= \int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x$$
Ma $f=g$ tranne in $x_1,...,x_n$ e dunque hai
$$\int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b f(x) \text{d}x=\int_a^{x_1} g(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} g(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b g(x) \text{d}x=$$
$$=\int_a^b g(x) \text{d}x$$
Non sono sicurissimo di quest'ultima, magari aspetta pareri più esperti del mio.

Edit: corretto un typo, avevo scritto unione invece di intersezione.

[dissonance]

La terza va sostanzialmente bene, ma dovresti dimostrare che
\[
\int_a^{x_1} f(x)\, dx = \int_a^{x_1} g(x)\, dx, \]
e similmente sugli altri intervallini. In effetti si riduce a dimostrare che, detta \(h:=f-g\), si ha
\[
\int_a^{x_1}h(x)\, dx=0.\]

[Mephlip]

Definiamo $h(x):=f(x)-g(x)$, per ipotesi $f$ e $g$ sono integrabili secondo Riemann e dunque $h$ è integrabile secondo Riemann; inoltre $h$ è limitata in quanto differenza di funzioni limitate.
Sia $H$ la funzione integrale di $h$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale $H$ è continua in quanto $h$ è limitata.
Sia $\varepsilon>0$, per la continuità di $H$ si ha quindi che
$$H(x_1)=\int_a^{x_1} h(x) \text{d}x=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} h(x) \text{d}x$$
Ma per $x\in[a,x_1)$ è $f=g$, pertanto
$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} h(x) \text{d}x=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{x_1-\varepsilon} 0 \text{d}x=0$$
Similmente negli altri intervalli.

@dissonance: può andare?

Edit: aggiunta una $h$ mancante.

[dissonance]

Si, va bene.

[Aletzunny1]

"Mephlip":Per quanto riguarda la prima, non la devi dimostrare: basta trovare un controesempio, prova con $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ su $I=[0,1]$.
Per la seconda, se vuoi una dimostrazione intuitiva disegna i diagrammi di Venn e noterai che l'unione è contata due volte nell'integrazione e dunque va sottratta; per una dimostrazione rigorosa usa le descrizioni insiemistiche di $J_1$, $J_2$ e $J_1 \cup J_2$.
Per la terza, se $f \ne g$ nei punti $x_1,...,x_n$ con $a < x_1 <... $$\int_a^b f(x) \text{d}x= \int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x$$
Ma $f=g$ tranne in $x_1,...,x_n$ e dunque hai
$$\int_a^{x_1} f(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} f(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b f(x) \text{d}x=\int_a^{x_1} g(x) \text{d}x+...+\int_{x_{n-1}}^{x_n} g(x) \text{d}x+\int_{x_n}^b g(x) \text{d}x=$$
$$=\int_a^b g(x) \text{d}x$$
Non sono sicurissimo di quest'ultima, magari aspetta pareri più esperti del mio.

per quanto concerne il punto $3)$ ho perfettamente capito.
Per il punto $1)$ ho capito che per dimostrare che sono differenti basta un controesempio, tuttavia per dimostrare che $f*g$ è integrabile non è necessario farlo in generale?
e su quest'ultimo punto non riesco a venire a una soluzione.
infine per la seconda non capisco cosa si intenda con descrizione insiemistica.
Ho provato a risolverla nello stile della $3)$ ma senza risultati.

grazie

[Mephlip]

@dissonance: grazie per la conferma!

@aletzunny: prego! Scusami per aver filtrato $fg$, pensavo ti servisse solo il controesempio.
In realtà la dimostrazione dipende dalla definizione di integrale che usi, usi quella con le somme di Riemann o con le funzioni semplici?
Per descrizione insiemistica intendo procedere scrivendo gli insiemi per esteso, ad esempio $J_1 \cup J_2 =\{x \ \text{t.c.} \ x\in J_1 \ \text{o} \ x\in J_2\}$, per poi arrivare dove vuoi arrivare.

[Aletzunny1]

"Mephlip":@dissonance: grazie per la conferma!

@aletzunny: prego! Scusami per aver filtrato $fg$, pensavo ti servisse solo il controesempio.
In realtà la dimostrazione dipende dalla definizione di integrale che usi, usi quella con le somme di Riemann o con le funzioni semplici?
Per descrizione insiemistica intendo procedere scrivendo gli insiemi per esteso, ad esempio $J_1 \cup J_2 =\{x \ \text{t.c.} \ x\in J_1 \ \text{e} \ x\in J_2\}$, per poi arrivare dove vuoi arrivare.

Allora perdonami ma con il punto $2)$ non sto capendo come agire soprattutto per dimostrarlo.

Per la definizione di integrale usiamo questa.
$s(f,I)=h(\int_I phi: phi<=f)$ dove $h$ è il sup e $phi$ è una funzione a scala. $s(f,I)$ è l'integrale inferiore.

$S(f,I)=t(\int_I sigma: sigma>=f)$ dove $t$ è l'inf e $sigma$ è una funzione a scala. $S(f,I)$ è l'integrale superiore.

Allora f è integrabile se $s(f,I)=S(f,I)$

O equivalentemente per ogni $epsilon>0$ esitono $sigma,phi$ a scala con $phi<=f<=sigma$ su $I$ tale che $0<= (\int_I sigma)-(\int_I phi)

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[Mephlip]

Ok, funzione a scala e funzioni semplici sono sinonimi.
Comunque sto rimanendo volutamente criptico, ti invito a provare da solo.
Io non sono molto pratico di insiemistica e quindi dovrei pensarci un pochino, non so se ho il tempo di mettermici (sono sotto esami ); prova a dimostrare che $fg$ è integrabile, sostanzialmente devi costruire $\phi$ e $\sigma$ per la funzione $fg$ partendo da quelle per $f$ e per $g$.

P.S.: se stai rispondendo direttamente all'utente sopra cerca di non citare (a meno che non sia necessario citare alcune parti), altrimenti il post diventa un po' più pesante da leggere

[Aletzunny1]

"Mephlip":Ok, funzione a scala e funzioni semplici sono sinonimi.
Comunque sto rimanendo volutamente criptico, ti invito a provare da solo.
Io non sono molto pratico di insiemistica e quindi dovrei pensarci un pochino, non so se ho il tempo di mettermici (sono sotto esami ); prova a dimostrare che $fg$ è integrabile, sostanzialmente devi costruire $\phi$ e $\sigma$ per la funzione $fg$ partendo da quelle per $f$ e per $g$.

P.S.: se stai rispondendo direttamente all'utente sopra cerca di non citare (a meno che non sia necessario citare alcune parti), altrimenti il post diventa un po' più pesante da leggere

Ci provo... grazie

[dissonance]

Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

[Aletzunny1]

"dissonance":Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

Allora onestamente l'ultima parte della dimostrazione non ho comunque capito come farlo, cioè come dimostra che $s(f^2,I)=S(f^2,I)$.
Inoltre dovrei ragionare così anche per $g$?
Arrivando a dimostrare cosa?

[dissonance]

Dalle domande che fai vedo che non mi sono spiegato affatto. Ma non penso sia il caso di continuare. Questo non è un esercizio da discutere su un forum, ma un teorema "da libro". Meglio prendere un buon libro di analisi e andarselo a studiare.

https://math.stackexchange.com/a/5709/8157

[Mephlip]

@dissonance: io avrei usato le funzioni semplici considerando (utilizzando la notazione di Aletzunny) di aggiungere e sottrarre il "termine misto" $\phi \sigma$, diciamo che se uno tiene a mente la dimostrazione di "il limite del prodotto è il prodotto dei limiti" può riciclare il ragionamento. Altrimenti c'è il trucco che hai usato tu, ma in effetti è meno immediato. Forse col termine misto è meno tecnica.

[Aletzunny1]

Sto preparando lo scritto teorico di analisi 1 e sto utilizzando il Giusti come testo.
Tuttavia a lezioni è stata data davvero molta importanza agli integrali e pur cercando online, sul libro e soprattutto cercando io stesso di dimostrarle non riesco a dimostrare queste due proprietà degli integrali.

siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Grazie

[gugo82]

"Aletzunny":siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

Puoi seguire il suggerimento dato da dissonance.

In alternativa, puoi usare alcuni teoremi più fini della teoria dell'integrazione (che ai miei tempi si studiavano).
Ad esempio, una linea di ragionamento può essere la seguente. Innanzitutto, vale il:

Teorema di Vitali & Lebesgue:

Siano $a RR$ limitata.
La $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se l'insieme $Delta_f$ dei punti di discontinuità di $f$ ha lunghezza nulla secondo Lebesgue.[nota]Il che vuol dire che per ogni $epsilon > 0$ esiste una successione di intervalli $[alpha_n, beta_n]$ tali che $Delta_f sube uu_(n in NN) [alpha_n, beta_n]$ e $sum_(n=0)^oo beta_n - alpha_n < epsilon$.[/nota]

Da ciò deriva il seguente fatto fondamentale:

Teorema di Integrabilità delle Funzioni Composte:

Siano $a= 1$), $F: Y -> RR$ e $g_1, …, g_N : [a,b] -> RR$.

Se:

[*:1w9jpb2j] la $F$ è continua in $Y$ e limitata sui sottoinsiemi limitati di $Y$,

[/*:m:1w9jpb2j]
[*:1w9jpb2j] le $g_1, …, g_N$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$,

[/*:m:1w9jpb2j]
[*:1w9jpb2j] per ogni $x in [a,b]$ risulta $(g_1(x), …, g_N(x)) in Y$[/*:m:1w9jpb2j][/list:u:1w9jpb2j]
allora la funzione composta $f:[a,b] -> RR$ definita ponendo:

$$f(x) := F(g_1(x), …, g_N(x))$$

è limitata ed integrabile in $[a,b]$

Di qui si conclude facilmente che vale il seguente fatto:

Corollario sull'Integrabilità di tutto il malloppone:

Siano $a RR$.

Se $f_1$ ed $f_2$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$, allora le funzioni $f_1 * f_2$, $|f_1|$, $f_1^p$ (con $p in NN$) e $k_1*f_1+k_2*f_2$ (con $k_1,k_2 in RR$) sono tutte limitate ed integrabili in $[a,b]$.
Se $text(inf)_(a<= x <= b) f_2(x) >0$, allora anche la funzione $f_1/f_2$ è limitata ed integrabile in $[a,b]$.

"Aletzunny":$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Questa non mi pare particolarmente proibitiva.
Prova da solo.

[Aletzunny1]

"gugo82":[quote="Aletzunny"]siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

Puoi seguire il suggerimento dato da dissonance.

In alternativa, puoi usare alcuni teoremi più fini della teoria dell'integrazione (che ai miei tempi si studiavano).
Ad esempio, una linea di ragionamento può essere la seguente. Innanzitutto, vale il:

Teorema di Vitali & Lebesgue:

Siano $a RR$ limitata.
La $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se l'insieme $Delta_f$ dei punti di discontinuità di $f$ ha lunghezza nulla secondo Lebesgue.[nota]Il che vuol dire che per ogni $epsilon > 0$ esiste una successione di intervalli $[alpha_n, beta_n]$ tali che $Delta_f sube uu_(n in NN) [alpha_n, beta_n]$ e $sum_(n=0)^oo beta_n - alpha_n < epsilon$.[/nota]

Da ciò deriva il seguente fatto fondamentale:

Teorema di Integrabilità delle Funzioni Composte:

Siano $a= 1$), $F: Y -> RR$ e $g_1, …, g_N : [a,b] -> RR$.

Se:

[*:3jtfpkgi] la $F$ è continua in $Y$ e limitata sui sottoinsiemi limitati di $Y$,

[/*:m:3jtfpkgi]
[*:3jtfpkgi] le $g_1, …, g_N$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$,

[/*:m:3jtfpkgi]
[*:3jtfpkgi] per ogni $x in [a,b]$ risulta $(g_1(x), …, g_N(x)) in Y$[/*:m:3jtfpkgi][/list:u:3jtfpkgi]
allora la funzione composta $f:[a,b] -> RR$ definita ponendo:

$$f(x) := F(g_1(x), …, g_N(x))$$

è limitata ed integrabile in $[a,b]$

Di qui si conclude facilmente che vale il seguente fatto:

Corollario sull'Integrabilità di tutto il malloppone:

Siano $a RR$.

Se $f_1$ ed $f_2$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$, allora le funzioni $f_1 * f_2$, $|f_1|$, $f_1^p$ (con $p in NN$) e $k_1*f_1+k_2*f_2$ (con $k_1,k_2 in RR$) sono tutte limitate ed integrabili in $[a,b]$.
Se $text(inf)_(a<= x <= b) f_2(x) >0$, allora anche la funzione $f_1/f_2$ è limitata ed integrabile in $[a,b]$.

"Aletzunny":$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Questa non mi pare particolarmente proibitiva.
Prova da solo.[/quote]

Onestamente la maledettissima $1)$ vorrei dimostrarla con lo stesso metodo usato in università, cioè quello delle successioni a scala come per $f+g$ ma non riesco

[gugo82]

Eh, "con lo stesso metodo usato in università"... Ma se non lo specifichi mai quando chiedi, come potremmo saperlo noi?
Mica abbiamo seguito insieme a te…

Ad ogni buon conto, hai provato qualcosa?
Cosa?
Perché non funziona?

[Aletzunny1]

"gugo82":Eh, "con lo stesso metodo usato in università"... Ma se non lo specifichi mai quando chiedi, come potremmo saperlo noi?
Mica abbiamo seguito insieme a te…

Ad ogni buon conto, hai provato qualcosa?
Cosa?
Perché non funziona?

Appena ho tempo cerco di scrivere tutti i passaggi con il linguaggio di scrittura del sito

[Aletzunny1]

"Aletzunny":[quote="dissonance"]Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

Allora onestamente l'ultima parte della dimostrazione non ho comunque capito come farlo, cioè come dimostra che $s(f^2,I)=S(f^2,I)$.
Inoltre dovrei ragionare così anche per $g$?
Arrivando a dimostrare cosa?[/quote]

Su che testo o pdf è possibile trovare la dimostrazioni che $f^2$ è integrabile, anche$(f+g)^2$ e dunque poi applicando il suggerimento anche ,$f*g$ ?

Grazie

[dissonance]

Ma l'ho scritto sopra, devi ragionarci un po' su. Se riesci a dimostrare che
\[\tag{1}
F \text{ è integrabile }\Rightarrow F^2\text{ è integrabile},\]
allora date \(f, g\) integrabili, siccome \(f+g\) e \(f-g\) sono integrabili, lo è anche
\[
(f+g)^2+(f-g)^2.\]