Integrale doppio

[caffeinaplus]

Salve a tutti
sto svolgendo il seguente integrale di cui non ho soluzione e vorrei sapere se individuate errori

$int int_(A) (1+y-x)dxdy$ dove $A={(x,y) in RR^2 : arcsinx+arcsiny<=pi/2 }$

Il mio risultato è $7/4pi$

Svolgimento:

Dato la presenza di quei scomodi $arcsin$ faccio la sostituzione

$x=sint$
$y=sinr$

So che dato che le variabili sono argomento dell'arcsin si ha $-1<=x<=1$ e $-1<=y<=1$.

Il determinante della mia Jacobiana è $|costcosr|$

Ma $-pi/2
Posso tornare allora a definire gli estremi di integrazione.

Partendo dalla disuguaglianza che definiva $A$ si ha che $r<=pi/2-t$

Quindi il mio integrale sarà

$int_{-pi/2}^{pi/2}dt int_{-pi/2}^{pi/2-t} (1+sint-sinr)costcosrdr$
$int_{-pi/2}^{pi/2}costdt int_{-pi/2}^{pi/2-t}(cosr+sintsinr-sinrcosr)dr$

Salto qualche calcolo per non annoiarvi


$int_{-pi/2}^{pi/2}(cos^2t+sintcos^2t +1/2sin^2t +1+sint)dt=int_{-pi/2}^{pi/2}(1/2cos^2t+1/2cos^2t+sintcos^2t +1/2sin^2t +1+sint)dt$
$int_{-pi/2}^{pi/2}(3/2+sintcos^2t +sint +1/2cos^2t)dt$
$=3/2pi + [cost]_(pi/2)^(-pi/2) + int_{-pi/2}^{pi/2}(sintcos^2t)dt +int_{-pi/2}^{pi/2}1/2cos^2tdt$
$=3/2pi +[-cos^3t/3]_(-pi/2)^(pi/2) +1/2 int_{-pi/2}^{pi/2}(1+cos2t)/2 $
$=7/4pi + 1/8[sina]_(-pi)^(pi)$

E si arriva quindi a $7/4pi$

Grazie mille in anticipo

[pilloeffe]

Ciao caffeinaplus,

Ammetto di non aver controllato tutti i calcoli e lo jacobiano, ma partendo dall'integrale che hai scritto

$ \int_{-pi/2}^{pi/2}cost\text{d}t \int_{-pi/2}^{pi/2-t}(cos r+sintsinr-sinrcosr)\text{d}r $

mi risulta

$ \int \int_A (1+y-x)\text{d}x\text{d}y = 7/3 + \pi/2 $

[caffeinaplus]

Ciao piloeffe e grazie della risposta

Effettivamente facendo i conti ho fatto un errore, il risultato giusto ho scoperto essere $pi/2 +5/3$