Integrale doppio in x^2+y^2>=1;x^2+y^2<=2y

[AndreaRckClmb]

$ f(x,y)=(x^2+y^2)^(-1/2) $ da integrare nel dominio

$ x^2+y^2>=1 ; x^2+(y-1)^2<=1 $

Il dominio è quello che appare nell'immagine.
Quello che avevo pensato di fare io era porre

$ x=u $ e $ y-1=v $ in modo da centrare in O la seconda parte del dominio poi passare alle coordinate polari e calcolare l'integrale su tutta la circonferenza di raggio 1 e poi proceder per differenza...
il problema è che parametrizzando in questo modo ottengo un dominio estremamente comodo ma una pessima funzione da integrare cioè $ \rho/(sqrt(\rho^2-2\rho*sin(\theta)+1)) $ se non sbaglio
Quale potrebbe essere dunque la parametrizzazione da usare?
grazie in anticipo

[AndreaRckClmb]

grazie mille...è tutto chiarissimo ora...
mi ero lasciato confondere da alcuni esempi che aveva fatto la professoressa che chiaramente in questa situazione risultavano un po fuorvianti...
l'unico dubbio che ho adesso, o per meglio dire una curiosità, è se il valore dell'integrale corrisponda o meno all'area del dominio
grazie ancora

[AndreaRckClmb]

grazie mille davvero!!!!