Convergenza uniforme dubbio teorico

[panciotto]

ho un dubbio molto piccolo:

se in una generica successione convergente puntualmente devo calcolare la convergenza uniforme, devo trovare il SUP della funzione meno il valore a cui tende puntualmente al variare di x e poi calcolarne il limite tendente a infinito ok fin qui ci siamo, ma, nel fare questo SUP, potendo variare x tra tutti i numero reali, posso porla uguale a N?

grazie

[theras]

Così facendo trasformeresti la tua successione di funzioni in una successione di successioni:
e non è di certo la stessa cosa
(non foss'altro perchè passeresti da discreto-continuo a discreto-discreto..)!
Saluti dal web.

[panciotto]

e se mantenessi x continuo posso considerarlo un numero tendente a infinito?

[gugo82]

Porta un esempio.

[panciotto]

esempio:
successione [tex]Fn(x) = x^2/(n+x^2)[/tex]

converge puntualmente a 0,
convergenza uniforme: se x vale infinito il SUP è 1 e non c'è convergenza, se non si può porre x a infinito il SUP è 0 e c'è convergenza

quale dei 2?

[gugo82]

Ma che vuol dire "$x$ vale infinito" oppure "porre $x$ a infinito"?
Esprimiti meglio, sù...

[panciotto]

il mio lessico matematico non è un gran che

allora, per la convergenza uniforme devo cercare per quale valore di x [tex]|f(x)-0|[/tex] raggiunge il massimo, quindi calcolare il limiti per n che tende a infinito di questo massimo. la funzione f(x) continua a crescere al crescere di x, quindi raggiunge il suo massimo per x che tende a infinito giusto?
se x vale infinito il limite per n che tende a infinito di [tex]|x^2/(n+x^2)|[/tex] vale uno giusto?
mentre per avere la convergenza uniforme dovrebbe valere 0, è questo il procedimento?

se non è chiaro avverti che posto i passaggi uno a uno

[gugo82]

"panciotto":per la convergenza uniforme devo cercare per quale valore di x [tex]|f_n(x)-0|[/tex] raggiunge il massimo [...] la funzione $f_n(x)$ continua a crescere al crescere di x, quindi raggiunge il suo massimo per x che tende a infinito giusto?

In generale, una funzione definita su un insieme non compatto non è tenuta ad avere massimo.
Questo fatto, noto da Analisi I, è proprio quello che si verifica nel caso in esame: infatti la funzione \(|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)|=\frac{|x|}{x^2+n}\) non ha massimo nell'insieme di convergenza puntuale della successione \((f_n)\), che è \(X:=\mathbb{R}\).

Tuttavia, tale funzione ha in \(X\) estremo superiore finito: il valore di tale estremo superiore si può determinare facendo uno studio della funzione \(|f_n(x)-f(x)|\), in particolare determinandone gli intervalli di monotonia coi metodi classici del Calcolo Differenziale.

"panciotto":se x vale infinito

\(\infty\) non è un numero, quindi "\(x\) non può valere \(\infty\)".
Credo che questo fatto debba essere stato chiarito già in Analisi I.

"panciotto": il limite per n che tende a infinito di [tex]|x^2/(n+x^2)|[/tex] vale uno giusto?

No.
Casomai è il limite della successione di termine generale:
\[
M_n := \sup_{x\in X} |f_n-f| = \sup_{x\in \mathbb{R}} \frac{|x|}{x^2+n}
\]
a valere \(1\).

"panciotto":mentre per avere la convergenza uniforme dovrebbe valere 0

Per definizione:
\[
f_n \stackrel{\text{u}}{\to} f \text{ in } X\qquad \Leftrightarrow \qquad \lim_n M_n = 0 \text{, ove } M_n:= \sup_{x\in X} |f_n-f|
\]
quindi la tua successione converge uniformemente in \(X\) solo se la successione \((M_n)\) è infinitesima.
Nel caso in esame ciò non accade (come hai intuito, pur non formalizzando in modo corretto il discorso), quindi non c'è convergenza uniforme in tutto \(X=\mathbb{R}\)

[panciotto]

ok tutto chiaro grazie per la precisissima spiegazione!