Differenziabilita' di una funzione a due variabili
Salve a tutti
apro questo thread (che e' il primo per me) perche ho difficolta' a capire il concetto di differenziabilita'.
studiando dal libro (marcellini) ho afferrato abbastanza i concetti base della differenziabilita' e ho risolto i primi esercizi che ho trovato sull'eserciziario e non ho trovato difficolta', ma mi sembravano fin troppo meccanici...
allora ho preso qualche esercizio qua e la e le mie convinzioni hanno cominciato a vacillare..
propongo un esercizio:
$f(x,y)=[cos(x(x+y))-cos(x)]/x$
devo determinare i punti di accumulazione del dominio in cui posso estendere la funzione con continuita' e devo studiare la differenziabilita' in tali punti.
attacco con un immancabile limite per x,y -> 0,y0 (con y0 = qualsiasi y, dato che il problema e' in x=0)
a questo punto mi sento in diritto di sviluppare in serie di Taylor la funzione, visto che l'argomento dei coseni e' infinitesimo (giusto?), e con opportune semplificazioni arrivo ad avere:
$x(1-(x+y)^2)/2$
considerata questa funzione posso dire che va a zero, perche' x->0, mentre y e' un numero fissato (sempre giusto?)
quindi avrei esteso la mia funzione in 0,y0 a un valore 0.
differenziabilita' in 0,y0:
ora potrei fermarmi anche qui, perche sono rimasto abbastanza interdetto, ma per correttezza scrivo i miei tentativi (con dubbi allegati):
prendo la definizione di differenziabilita':
$lim_{(h,k)->(0,0)} [f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k]/(h^2+k^2)^(1/2) = 0$
per la derivata parziale su x ho calcolato il rapporto incrementale in 0,y0 dello sviluppo e ho ottenuto svolgendo il limite per h->0 del rapporto incrementale: $(1-y0)/2$
(dubbio: posso prendere lo sviluppo in serie per calcolare il rapporto incrementale? se si, con quali ipotesi?)
(dubbio2: devo fare il rapporto incrementale oppure derivo a mano la funzione cone le formule? perche talvolta quando derivo la funzione "a mano" trovo problemi nella sostituzione dei valori, in quanto otterrei forme indeterminate)
la derivata parziale su y calcolata in 0,y0 mi da 0.
a questo punto ho tutti gli ingredienti per la mia formulona della differenziabilita', calcolata in 0,y0.
butto dentro i valori:
$lim_{(h,k)->(0,0)} (f(0+h,y0+k)-f(0,y0)-fx(0,y0)h-f(0,y0)k)/(h^2+k^2)^(1/2)$
e verifico che questo limite valga 0
quindi raccogliendo:
$lim_{(h,k)->(0,0)} h[1-(h+y0+k)^2 -1+y0^2]/(2*(h^2+k^2)^(1/2))$
semplifico gli uno e ... sipario. non so che fare
ho provato qualche maggiorazione timida (coordinate polari anche), ma il punto e' che non ci sono ancora.
durante lo svolgimento ho molti dubbi, e prima di avere di avere la presunzione di poter risolvere un esercizio da esame mi piacerebbe scioglierli.
ringrazio chiunque abbia la pazienza per aiutarmi a capire come si lavora.
PS: e' il mio primo post, sono nuovo del forum, trattatemi con saggezza e compassione.
grazie ancora
[xdom="Raptorista"]Ti ho aggiustato i simboli di limite [per questa volta
]. Usa il tasto "modifica" per vedere come li ho scritti.[/xdom]
apro questo thread (che e' il primo per me) perche ho difficolta' a capire il concetto di differenziabilita'.
studiando dal libro (marcellini) ho afferrato abbastanza i concetti base della differenziabilita' e ho risolto i primi esercizi che ho trovato sull'eserciziario e non ho trovato difficolta', ma mi sembravano fin troppo meccanici...
allora ho preso qualche esercizio qua e la e le mie convinzioni hanno cominciato a vacillare..
propongo un esercizio:
$f(x,y)=[cos(x(x+y))-cos(x)]/x$
devo determinare i punti di accumulazione del dominio in cui posso estendere la funzione con continuita' e devo studiare la differenziabilita' in tali punti.
attacco con un immancabile limite per x,y -> 0,y0 (con y0 = qualsiasi y, dato che il problema e' in x=0)
a questo punto mi sento in diritto di sviluppare in serie di Taylor la funzione, visto che l'argomento dei coseni e' infinitesimo (giusto?), e con opportune semplificazioni arrivo ad avere:
$x(1-(x+y)^2)/2$
considerata questa funzione posso dire che va a zero, perche' x->0, mentre y e' un numero fissato (sempre giusto?)
quindi avrei esteso la mia funzione in 0,y0 a un valore 0.
differenziabilita' in 0,y0:
ora potrei fermarmi anche qui, perche sono rimasto abbastanza interdetto, ma per correttezza scrivo i miei tentativi (con dubbi allegati):
prendo la definizione di differenziabilita':
$lim_{(h,k)->(0,0)} [f(x+h,y+k)-f(x,y)-fx(x,y)h-fy(x,y)k]/(h^2+k^2)^(1/2) = 0$
per la derivata parziale su x ho calcolato il rapporto incrementale in 0,y0 dello sviluppo e ho ottenuto svolgendo il limite per h->0 del rapporto incrementale: $(1-y0)/2$
(dubbio: posso prendere lo sviluppo in serie per calcolare il rapporto incrementale? se si, con quali ipotesi?)
(dubbio2: devo fare il rapporto incrementale oppure derivo a mano la funzione cone le formule? perche talvolta quando derivo la funzione "a mano" trovo problemi nella sostituzione dei valori, in quanto otterrei forme indeterminate)
la derivata parziale su y calcolata in 0,y0 mi da 0.
a questo punto ho tutti gli ingredienti per la mia formulona della differenziabilita', calcolata in 0,y0.
butto dentro i valori:
$lim_{(h,k)->(0,0)} (f(0+h,y0+k)-f(0,y0)-fx(0,y0)h-f(0,y0)k)/(h^2+k^2)^(1/2)$
e verifico che questo limite valga 0
quindi raccogliendo:
$lim_{(h,k)->(0,0)} h[1-(h+y0+k)^2 -1+y0^2]/(2*(h^2+k^2)^(1/2))$
semplifico gli uno e ... sipario. non so che fare
ho provato qualche maggiorazione timida (coordinate polari anche), ma il punto e' che non ci sono ancora.
durante lo svolgimento ho molti dubbi, e prima di avere di avere la presunzione di poter risolvere un esercizio da esame mi piacerebbe scioglierli.
ringrazio chiunque abbia la pazienza per aiutarmi a capire come si lavora.
PS: e' il mio primo post, sono nuovo del forum, trattatemi con saggezza e compassione.
grazie ancora
[xdom="Raptorista"]Ti ho aggiustato i simboli di limite [per questa volta
]. Usa il tasto "modifica" per vedere come li ho scritti.[/xdom]
Risposte
Benvenuto nel forum!
Ti consiglio, per rendere più leggibili i tuoi messaggi, di imparare a usare le formule. Nella maggior parte dei casi si tratta solo di racchiudere fra i simboli di dollaro ciò che vuoi scrivere in formula, ad esempio
produce $f(x,y) = x^2$; in alternativa puoi usare
La tua funzione può essere scritta nel seguente modo:
che produce (provare per credere)
\( f(x,y) = \frac{\cos(x(x+y))-\cos(x)}{x} \)
Ti consiglio, per rendere più leggibili i tuoi messaggi, di imparare a usare le formule. Nella maggior parte dei casi si tratta solo di racchiudere fra i simboli di dollaro ciò che vuoi scrivere in formula, ad esempio
$f(x,y) = x^2$
produce $f(x,y) = x^2$; in alternativa puoi usare
\( f(x,y) = x^2 \)
La tua funzione può essere scritta nel seguente modo:
\( f(x,y) = \frac{\cos(x(x+y))-\cos(x)}{x} \)che produce (provare per credere)
\( f(x,y) = \frac{\cos(x(x+y))-\cos(x)}{x} \)
ho modificato il messaggio, ora dovrebbe essere piu leggibile, perdonate l'inesperienza!
A quel punto, potrebbe essere una buona idea passare in coordinate polari e svolgere il quadrato del trinomio.
ok ho imparato anche a scrivere i limiti ora.
pero' le incertezze "in itinere" sono sempre li, nessun commento?
sono passato alle coordinate polari comunque..
$h=Rcos(t)$
$k=Rsen(t)$
$(-Rcos(t)/2)*(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t)+2R^2*sen(t)cos(t))$
con grotteschi raccoglimenti arrivo a:
$(-R^2cos(t)/2)*(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))$
ora per calcolare il limite in due variabili non mi basta considerare $R->0$, ma controllo che l'estremo superiore della mia funzione (calcolata in coordinate polari) sia finito. Quindi:
$lim_{R->0} (-R^2)/2*SUP[cos(t)*(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))]$
maggioro il coseno che moltiplica la funzione con 1:
$lim_{R->0} (-R^2)/2*SUP[(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))]$
e a questo punto la mia mente limitata riconosce che anche quella funzione e' limitata (in quanto non mi sembra avere problemi, sono somme tra numeri, al variare di t non vanno tanto lontano) e concludo che il SUP e' finito, posso passare al limite per $R->0$, ottengo un bel 0 come risultato e dico che la funzione e' differenziabile nella sua estensione.
dite la vostra! ho ancora troppi dubbi
pero' le incertezze "in itinere" sono sempre li, nessun commento?
sono passato alle coordinate polari comunque..
$h=Rcos(t)$
$k=Rsen(t)$
$(-Rcos(t)/2)*(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t)+2R^2*sen(t)cos(t))$
con grotteschi raccoglimenti arrivo a:
$(-R^2cos(t)/2)*(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))$
ora per calcolare il limite in due variabili non mi basta considerare $R->0$, ma controllo che l'estremo superiore della mia funzione (calcolata in coordinate polari) sia finito. Quindi:
$lim_{R->0} (-R^2)/2*SUP[cos(t)*(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))]$
maggioro il coseno che moltiplica la funzione con 1:
$lim_{R->0} (-R^2)/2*SUP[(R(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t)))]$
e a questo punto la mia mente limitata riconosce che anche quella funzione e' limitata (in quanto non mi sembra avere problemi, sono somme tra numeri, al variare di t non vanno tanto lontano) e concludo che il SUP e' finito, posso passare al limite per $R->0$, ottengo un bel 0 come risultato e dico che la funzione e' differenziabile nella sua estensione.
dite la vostra! ho ancora troppi dubbi
"Marcolostsomething":
$(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2)$
con grotteschi raccoglimenti arrivo a:
$R*(R(cos(t)+sen(t))^2)$
MOLTO grotteschi!!
Cancella quell'eresia, prima che ti veda qualcuno di più cattivo di me!
Sul resto dell'esercizio: non andare a complicarti la vita tirando in ballo il \(\sup\): Keep it Simple!
Innanzitutto, in questo tipo di esercizi è molto più comodo ragionare SEMPRE in modulo [tanto \(x \le |x|\)]: \(|\cos x| \le 1\), \(|\sin x| \le 1\): fai delle maggiorazioni e vedi che tutto diventa più semplice!
sono sicuramente una persona molto distratta, e la matematica non perdona...
pero' io dovrei aver preso da:
$(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t)+2R^2*sen(t)cos(t)) =$
$=(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2R^2*sen(t)cos(t))+(2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t))$
$=(Rcos(t)+Rsen(t))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=(R(cos(t)+sen(t)))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=R^2*(cos(t)+sen(t))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=R[R*(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t))]$
e poi porto l'$R$ fuori dal SUP
forse c'e' stato un malinteso, ma in caso contrario sono pronto a pentirmi e ad autocastigarmi
pero' io dovrei aver preso da:
$(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t)+2R^2*sen(t)cos(t)) =$
$=(R^2*cos(t)^2+R^2*sen(t)^2+2R^2*sen(t)cos(t))+(2y0Rcos(t)+2y0R*sen(t))$
$=(Rcos(t)+Rsen(t))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=(R(cos(t)+sen(t)))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=R^2*(cos(t)+sen(t))^2+2y0R(cos(t)+sen(t))$
$=R[R*(cos(t)+sen(t))^2+2y0(cos(t)+sen(t))]$
e poi porto l'$R$ fuori dal SUP
forse c'e' stato un malinteso, ma in caso contrario sono pronto a pentirmi e ad autocastigarmi
Ops, stavolta è colpa mia
Non avevo visto il doppio prodotto che era alla fine della riga, ed inconsciamente sono stato portato a pensare che avessi fatto un errore algebrico XD
Il conto non è sbagliato, allora. Ora finisci il tutto come ti ho detto nella seconda parte dell'ultimo post che ci sei
Non avevo visto il doppio prodotto che era alla fine della riga, ed inconsciamente sono stato portato a pensare che avessi fatto un errore algebrico XD
Il conto non è sbagliato, allora. Ora finisci il tutto come ti ho detto nella seconda parte dell'ultimo post che ci sei
le maggiorazioni che mi proponi mi fanno sempre un po' paura...
finche' vedo un seno o un coseno a moltiplicare io lo tolgo sempre con aria spavalda ("tanto e' minore o uguale a 1!", dico io...), ma appena incontro delle somme non so come comportarmi..
ti espongo un mio aneddoto:
ero di fronte a un $SUP[ sen(t)(1-sen(t)^2)]$
"maggioro il seno con 1!" e via il seno.. $SUP (1-sen(t)^2)$
"maggioro il seno quadro con 1!" e via tutto..
"il SUP e' 0!"
e in quel momento mi sono reso conto che non avevo ancora appreso quanto potevo maggiorare, senza rendere false le mie affermazioni...a prescindere da strafalcioni e colpi di fortuna vorrei capire la filosofia che sta alla base delle maggiorazioni.
e se fosse: $SUP [sen(t)+3+cos(t)]$ posso maggiorare senza pieta' e ottenere $SUP= 5$?
perche poi alla fine e' quello che ho fatto anche io alla fine del limite: riconoscendo che i cos e i sen sono maggiorabili con un 1 concludo che il sup e' maggiorabile con un numero M (mi interessa quello alla fine, il limite mi da problemi se il SUP e' illimitato, e se fosse cosi.. dio ci salvi).
dopo queste frasi pericolose (perche' sto parlando di una cosa che non ho bene appreso) vorrei qualche indicazione per maggiorare il SUP senza perdere di generalita'.
PS: ragionare in modulo mi impone $ 0<=|x|$ , e con:
$|x|<= $qualcosa che mi piacerebbe molto andasse a 0
per arrivare con i carabinieri a: $x->0$ ?
finche' vedo un seno o un coseno a moltiplicare io lo tolgo sempre con aria spavalda ("tanto e' minore o uguale a 1!", dico io...), ma appena incontro delle somme non so come comportarmi..
ti espongo un mio aneddoto:
ero di fronte a un $SUP[ sen(t)(1-sen(t)^2)]$
"maggioro il seno con 1!" e via il seno.. $SUP (1-sen(t)^2)$
"maggioro il seno quadro con 1!" e via tutto..
"il SUP e' 0!"
e in quel momento mi sono reso conto che non avevo ancora appreso quanto potevo maggiorare, senza rendere false le mie affermazioni...a prescindere da strafalcioni e colpi di fortuna vorrei capire la filosofia che sta alla base delle maggiorazioni.
e se fosse: $SUP [sen(t)+3+cos(t)]$ posso maggiorare senza pieta' e ottenere $SUP= 5$?
perche poi alla fine e' quello che ho fatto anche io alla fine del limite: riconoscendo che i cos e i sen sono maggiorabili con un 1 concludo che il sup e' maggiorabile con un numero M (mi interessa quello alla fine, il limite mi da problemi se il SUP e' illimitato, e se fosse cosi.. dio ci salvi).
dopo queste frasi pericolose (perche' sto parlando di una cosa che non ho bene appreso) vorrei qualche indicazione per maggiorare il SUP senza perdere di generalita'.
PS: ragionare in modulo mi impone $ 0<=|x|$ , e con:
$|x|<= $qualcosa che mi piacerebbe molto andasse a 0
per arrivare con i carabinieri a: $x->0$ ?
Allora, vediamo di sistemare un po' questo marasma 
Partiamo da
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t).
\]
Puoi fare le maggiorazioni \(|\sin t + 3 + \cos t| \le |1 + 3 + 1|\), ma a questo punto ottieni
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) \huge \le \normalsize \sup (5) = 5
\]
NON
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) = \sup (5) = 5.
\]
Questo è un ottimo motivo per eliminare i sup dai tuoi ragionamenti.
Passiamo ora a
\[
\sin t (1 - \sin^2 t) :
\]
va bene maggiorare il seno fuori dalla parentesi, perché è un fattore moltiplicativo, però quello dentro è a sottrazione, quindi se al seno sostituisci \(1\) ottieni qualcosa di più piccolo.
Più formalmente, tu sai che \(f(t) + g(t) \le f(t) + \sup(g(t))\); in questo caso \(f(t) = 1, \ g(t) = -\sin^2 t\) e \(\sup (-\sin^2 t) = 0\), quindi la maggiorazione che devi fare è \(1 - \sin^2 t \le 1 + 0 = 1\).
Risposta al p.s: sì, quello è un motivo, che poi si usa in \(\mathbb{R}^n\) per ovviare al caso che il limite potrebbe dipendere dalla curva con cui ti avvicini al punto di limite.
Partiamo da
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t).
\]
Puoi fare le maggiorazioni \(|\sin t + 3 + \cos t| \le |1 + 3 + 1|\), ma a questo punto ottieni
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) \huge \le \normalsize \sup (5) = 5
\]
NON
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) = \sup (5) = 5.
\]
Questo è un ottimo motivo per eliminare i sup dai tuoi ragionamenti.
Passiamo ora a
\[
\sin t (1 - \sin^2 t) :
\]
va bene maggiorare il seno fuori dalla parentesi, perché è un fattore moltiplicativo, però quello dentro è a sottrazione, quindi se al seno sostituisci \(1\) ottieni qualcosa di più piccolo.
Più formalmente, tu sai che \(f(t) + g(t) \le f(t) + \sup(g(t))\); in questo caso \(f(t) = 1, \ g(t) = -\sin^2 t\) e \(\sup (-\sin^2 t) = 0\), quindi la maggiorazione che devi fare è \(1 - \sin^2 t \le 1 + 0 = 1\).
Risposta al p.s: sì, quello è un motivo, che poi si usa in \(\mathbb{R}^n\) per ovviare al caso che il limite potrebbe dipendere dalla curva con cui ti avvicini al punto di limite.
"Raptorista":
Puoi fare le maggiorazioni \(|\sin t + 3 + \cos t| \le |1 + 3 + 1|\), ma a questo punto ottieni
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) \huge \le \normalsize \sup (5) = 5
\]
NON
\[
\sup (\sin t + 3 + \cos t) = \sup (5) = 5.
\]
Questo è un ottimo motivo per eliminare i sup dai tuoi ragionamenti.
bene, benissimo! sentivo che stavo sbagliando..
pero' anche se ho che il sup e' < di 5 l'esercizio arriva a buon fine lo stesso.. (insisto su questo fatto perche conosco solo questo modo per risolvere un limite in due variabili) all'universita' non ho ancora imparato a fare considerazioni senza il SUP, e vorrei sapere le ipotesi entro cui posso arrivare alla conclusione di un limite in due variabili
"Raptorista":
Passiamo ora a
\[
\sin t (1 - \sin^2 t) :
\]
va bene maggiorare il seno fuori dalla parentesi, perché è un fattore moltiplicativo, però quello dentro è a sottrazione, quindi se al seno sostituisci \(1\) ottieni qualcosa di più piccolo.
Più formalmente, tu sai che \(f(t) + g(t) \le f(t) + \sup(g(t))\); in questo caso \(f(t) = 1, \ g(t) = -\sin^2 t\) e \(\sup (-\sin^2 t) = 0\), quindi la maggiorazione che devi fare è \(1 - \sin^2 t \le 1 + 0 = 1\).
Risposta al p.s: sì, quello è un motivo, che poi si usa in \(\mathbb{R}^n\) per ovviare al caso che il limite potrebbe dipendere dalla curva con cui ti avvicini al punto di limite.
perfetto!
ora butto un altra domanda: i carabinieri applicati $|f(x)|$ come possono darmi informazioni sulla convergenza di $f(x)$ ?
togliendo il modulo ho sempre da una parte la maggiorazione ma dall'altra non ho piu l'informazione del $ 0<=|f(x)|$
che cosa dovrei sapere?
ti ringrazio infinitamente per tutti gli aiuti che sto ricevendo, ho le idee gia meno confuse!
perdona la raffica di domande.. ma oramai che ci sono! potresti bannarmi per stress? : D
"Marcolostsomething":
bene, benissimo! sentivo che stavo sbagliando..
pero' anche se ho che il sup e' < di 5 l'esercizio arriva a buon fine lo stesso.. (insisto su questo fatto perche conosco solo questo modo per risolvere un limite in due variabili) all'universita' non ho ancora imparato a fare considerazioni senza il SUP, e vorrei sapere le ipotesi entro cui posso arrivare alla conclusione di un limite in due variabili
Il \(\sup\) lo puoi scaricare perché se fai una maggiorazione del tipo \(f(x) \le g(x)\) ottieni subito che, se \(\sup f(x) = f(\tilde x)\), \(f(\tilde x) \le g(\tilde x)\).
In altre parole, una volta che hai trovato una maggiorazione di \(f\), puoi maggiorare \(\sup f\) con la stessa quantità [sempre puntualmente, si intende].
"Marcolostsomething":
perfetto!
ora butto un altra domanda: i carabinieri applicati $|f(x)|$ come possono darmi informazioni sulla convergenza di $f(x)$ ?
togliendo il modulo ho sempre da una parte la maggiorazione ma dall'altra non ho piu l'informazione del $ 0<=|f(x)|$
che cosa dovrei sapere?
ti ringrazio infinitamente per tutti gli aiuti che sto ricevendo, ho le idee gia meno confuse!
perdona la raffica di domande.. ma oramai che ci sono! potresti bannarmi per stress? : D
Beh, questo è abbastanza evidente!
Se fai vedere che \(|f(x)| \to 0\) ottieni gratis che \(-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| \to 0\).
Consiglierei di dare una lettura al libro di testo, prima di buttarsi sugli esercizi!
grazie!
il libro l'ho letto anche troppe volte, e se provo ad esporre i miei dubbi non mi risponde.
gli esercizi li uso anche per accendere la testa, mi svegliano neuroni che dormivano mentre studiavo la teoria...
il libro l'ho letto anche troppe volte, e se provo ad esporre i miei dubbi non mi risponde.
gli esercizi li uso anche per accendere la testa, mi svegliano neuroni che dormivano mentre studiavo la teoria...
"Marcolostsomething":
neuroni che dormivano mentre studiavo la teoria...
E questo è il risultato
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