Serie di Laurent
Salve ragazzi. Stamattina stavo ripensando alle serie di Laurent studiate a metodi matematici ed ho riscontrato dei problemi nello scrivere la serie di Laurent di questa funzione nel punto $z_0=0$:
$f(z)=(1)/(z^2-3z+2)$
sapreste indicarmi come fare?
Allora io ho calcolato gli zeri del denominatore che sono due poli semplici in $z=1$ e $z=2$.
Come faccio? Dovrei calcolare la serie nella corona circolare fatta cosi: $0<|z|<1$ giusto? Come faccio?
Grazie in anticipo
$f(z)=(1)/(z^2-3z+2)$
sapreste indicarmi come fare?
Allora io ho calcolato gli zeri del denominatore che sono due poli semplici in $z=1$ e $z=2$.
Come faccio? Dovrei calcolare la serie nella corona circolare fatta cosi: $0<|z|<1$ giusto? Come faccio?
Grazie in anticipo
Risposte
Sai decomporre quella funzione razionale fratta in fratti semplici?
Certo. Verrebbe: $f(z)=1/(z-1)+1/(z-2)$
Più in generale $f(z)=A/(z-1)+B/(z-2)$
Più in generale $f(z)=A/(z-1)+B/(z-2)$
Nessuno sa aiutarmi? 
Conoscendo Seneca, non penso ti abbia fatto fare la decomposizione in fratti semplici per divertimento 
Magari con quella ci puoi fare qualcosa...
Magari con quella ci puoi fare qualcosa...
si infatti ho calcolato i coefficienti ed ho che $A=-1$ e $B=1$ per cui avrei che $f(z)=-1/(z-1)+1/(z-2)$.
Ma non riesco a capire. Cioè so che i coefficienti possono essere calcolati mediante i residui e so che in generale $R[z_0]=c_(-1)$ della serie di Laurent....aahhhhh quindi vorreste dirmi che in pratica il coefficiente A è il termine della parte singolare della serie di Laurent di centro $z_0=1$ e l'altro quello di centro $z_0=2$ giusto?
Beh allora se è cosi....qual è quello di centro 0 ???? O.o
Ma non riesco a capire. Cioè so che i coefficienti possono essere calcolati mediante i residui e so che in generale $R[z_0]=c_(-1)$ della serie di Laurent....aahhhhh quindi vorreste dirmi che in pratica il coefficiente A è il termine della parte singolare della serie di Laurent di centro $z_0=1$ e l'altro quello di centro $z_0=2$ giusto?
Beh allora se è cosi....qual è quello di centro 0 ???? O.o
Prima di tutto il problema si riconduce a calcolare una serie di Taylor, poiché le radici del denominatore sono punti isolati e $0$ non è un punto singolare.
\[ f(z) = \frac{1}{ 1 - z} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z/2} \]
Se ora
\[ | z | < 1\]
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} z^k - \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( \frac{z}{2} \right )^k \]
Da cui...
\[ f(z) = \frac{1}{ 1 - z} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - z/2} \]
Se ora
\[ | z | < 1\]
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} z^k - \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( \frac{z}{2} \right )^k \]
Da cui...
Ah ho capito ora....sul primo termine ci sono, è una serie geometrica di ragione $z$ il che equivale a dire una serie di potenze di tutti e soli termini olomorfi e quindi una serie di Taylor per capirci...il secondo invece l'hai scritto come serie geometrica di ragione $z/2$ in modo che la funzione possa essere scritta in quel modo solo nel caso $|z|<1$ giusto?
E quindi ora è fatta perchè il secondo termine è olomorfo nella corona circolare ed in particolare il secondo termine vale $-1/2$ per $k=0$ e quindi il termine che sto cercando è proprio quella costante. Giusto?
Ps Quindi la prima parte posso chiamarla $O(z)$ (parte olomorfa) e la seconda parte sarà: $S(z)=sum_(n = -infty)^(-1)(2/z)^n$ che mi da termini con esponente negativo. Quindi la prima sommatoria convergerà in un cerchio tale che $|z|<1$ mentre la seconda convergerà in $1<|z|<2$. E' giusto o sbaglio qualcosa? ?????
E quindi ora è fatta perchè il secondo termine è olomorfo nella corona circolare ed in particolare il secondo termine vale $-1/2$ per $k=0$ e quindi il termine che sto cercando è proprio quella costante. Giusto?
Ps Quindi la prima parte posso chiamarla $O(z)$ (parte olomorfa) e la seconda parte sarà: $S(z)=sum_(n = -infty)^(-1)(2/z)^n$ che mi da termini con esponente negativo. Quindi la prima sommatoria convergerà in un cerchio tale che $|z|<1$ mentre la seconda convergerà in $1<|z|<2$. E' giusto o sbaglio qualcosa? ?????
Quindi sto scrivendo solo eresie oppure no?
Ps Oppure posso notare che entrambi gli addendi sono analitici in $z_0=0$ e quindi devo svilupparli fino all'ordine per cui la funzione è $!=0$ giusto?
Ps Oppure posso notare che entrambi gli addendi sono analitici in $z_0=0$ e quindi devo svilupparli fino all'ordine per cui la funzione è $!=0$ giusto?
Per favore mi aiutate? Non riesco a capire qual'è il punto. Le cose scritte nei post sopra sono giuste? Se si come procedo?
La serie di Laurent di $f$ nel punto $0$ è semplicemente una serie di Taylor (come ti ho spiegato). E' normale che non saltino fuori potenze negative.
Da qui
basta sommare e raccogliere:
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( 1 - \frac{1}{2^{k+1}} \right ) z^k \]
Ti torna?
Da qui
"Seneca":
\[ | z | < 1\]
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} z^k - \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( \frac{z}{2} \right )^k \]
basta sommare e raccogliere:
\[ f(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left ( 1 - \frac{1}{2^{k+1}} \right ) z^k \]
Ti torna?
Ahhhh ok. Ora si mi torna. Grazie. Quindi in sostanza bisogna riuscire a scrivere la funzione come somma di serie geometriche giusto? E quindi tutto ciò che ho scritto prima era sbagliato???
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