Sulla completezza in spazi di Hilbert

[Sk_Anonymous]

Sto iniziando a studiare per l'esame di Metodi Matematici della Fisica. Ho questo dubbio, e credo di stare per scrivere una castroneria. Correggetemi, vi prego!
Sia $H$ uno spazio di Hilbert, sia $x \in H$ e sia $\{ \e_n \}_{n\in N}$ un set di vettori linearmente indipendenti e ortonormali di $H$. Definendo $a_n=(x,e_n)$, dove $(\cdot,\cdot)$ prodotto scalare, se
\[\bar x_n = \sum_{i=0}^{n} a_i e_i\]
converge a $\bar x=x$ per $n \to infty$, allora posso dire che $\{ \e_n \}_{n\in N}$ è un set ortonormale completo.
È giusto?
Grazie a tutti.

[Hadronen]

Sì, puoi dirlo. Non mi convince molto la definizione di $x_n$: scritta così sembra quasi una successione di serie di funzioni; uno sviluppo ortonormale è una semplice serie di funzioni.

[5mrkv]

E' la successione delle somme parziali.

[Sk_Anonymous]

"5mrkv":E' la successione delle somme parziali.

Sì.

"Hadronen":Sì, puoi dirlo. Non mi convince molto la definizione di $x_n$: scritta così sembra quasi una successione di serie di funzioni; uno sviluppo ortonormale è una semplice serie di funzioni.

Grazie mille, allora ho capito!

[5mrkv]

Ah, intendevo rispondere a Hadronen solo che non ho quotato.

[gugo82]

"giuliofis":Sia $H$ uno spazio di Hilbert, sia $x \in H$ e sia $\{ \e_n \}_{n\in N}$ un set di vettori linearmente indipendenti e ortonormali di $H$. Definendo $a_n=(x,e_n)$, dove $(\cdot,\cdot)$ prodotto scalare, se
\[\bar x_n = \sum_{i=0}^{n} a_i e_i\]
converge a $\bar x=x$ per $n \to infty$, allora posso dire che $\{ \e_n \}_{n\in N}$ è un set ortonormale completo.
È giusto?

Sì e no... Insomma, è la versione semplificata ma è giusta.

Si dice che un insieme ortonormale \(S\) è completo in \(H\) se e solo se il sottospazio generato da \(S\), i.e.:
\[
\operatorname{span} S:=\{ x\in H:\ x \text{ è combinazione lineare di elementi di } S\}\; ,
\]
è denso in \(H\); in altre parole, \(S\) è completo se e solo se per ogni \(x\in H\) esiste almeno una successione \((x^n)\subset \operatorname{span} S\) tale che:
\[
x^n\to x
\]
(ossia \(\lim_n |x^n-x|=0\), ove \(|\cdot|\) è la norma di \(H\)).

In particolare, se \(S=\{e_m\}_{m\in \mathbb{N}}\) è un insieme ortonormale numerabile, come successione \(x^n\) si può prendere quella definita ponendo:
\[
x^n:= \sum_{m=0}^n \langle x,e_m\rangle\ e_m
\]
il cui generico elemento gode della seguente proprietà:
\[
|x^n-x|^2 = \min_{y\in S_n} |y-x|^2 =\operatorname{dist}^2 (x,S_n)
\]
ove \(S_n:=\operatorname{span} \{ e_0,\ldots ,e_n\}\) è il sottospazio generato dai primi \(n+1\) vettori di \(S\); in altri termini, \(x^n\) è l'approssimazione migliore di \(x\) secondo il metodo dei minimi quadrati nel sottospazio \(S_n\).