Integrale improprio

[contrattivo93]

Salve a tutti, vorrei provare che

$ \lim_(x -> +oo ) e^(-x^2) \int_0^x e^(t^2)\ \text{d} t =0 $

So che non è integrabile elementarmente, e difatti non mi interessa calcolarlo, vorrei solo provare che tende a 0.
Ho pensato di maggiorare la funzione all'interno dell'integrale ma non ne riesco a trovare una che dopo sia ingrado di dire che converge, qualcuno ha qualche idea su qualche intuizione che potrei utilizzare?
Grazie in anticipo!!

[Noisemaker]

utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola di De L'Hopital ....

[contrattivo93]

Ciao! ho provato ad utilizzare il teorema del calcolo fondamentale ma onestamente non riesco ad arrivare ad un risultato, in che modo pensavi di applicarlo?

[Noisemaker]

La funzione integranda è continua.Sia allora $F(x)$ una generica primitiva di $e^{t^2};$ applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale
\begin{align*}
&\lim_{x \to +\infty} \frac{ \displaystyle \int_{0}^{x}e^{ t^2} \,\,dt}{e^{x^2}} \stackrel{\bf(TFI)}{=}\lim_{x \to +\infty}\frac{F(x)-F(0)}{e^{x^2}}
\end{align*}
a questo punto siamo difronte ad una forma indeterminata del tipo$\infty/\infty$ perchè l'integrale improprio a numeratore non converge; allora possiamo applicare De L'Hopital:
\begin{align*}
&\stackrel{ \bf(H)}{=} \lim_{x \to +\infty}\frac{F'(x)-0}{2xe^{x^2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{2x }=0
\end{align*}