Equazioni differenziali secondo ordine
Siano
$y''−2y' +2y= cos t$e $y(t)$ sia una soluzione dell’equazione; si ha:
• tutte le y(t) sono periodiche
• vi è un’unica y(t) periodica
• nessuna delle altre
• nessuna y(t) è periodica
Io ho pensato alla prima, perché risolvendo l’equazione omogenea associata trovo che il delta è negativo quindi dipende da coseno e seno e anche la soluzione particolare dipende da coseno e seno( per metodo di somiglianza) è corretto?
Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?
Grazie
$y''−2y' +2y= cos t$e $y(t)$ sia una soluzione dell’equazione; si ha:
• tutte le y(t) sono periodiche
• vi è un’unica y(t) periodica
• nessuna delle altre
• nessuna y(t) è periodica
Io ho pensato alla prima, perché risolvendo l’equazione omogenea associata trovo che il delta è negativo quindi dipende da coseno e seno e anche la soluzione particolare dipende da coseno e seno( per metodo di somiglianza) è corretto?
Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?
Grazie
Risposte
Ciao AndretopC0707,
Beh, magari non proprio senza fare calcoli, ma facendone di molto semplici sì...
L'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y''−2y' +2y = cos t $
La soluzione $y(t) $ di una equazione differenziale si può sempre scrivere nella forma seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) $
ove $y_o(t) $ è la soluzione dell'equazione omogenea associata e $y_p(t) $ è una soluzione particolare che, facendo uso del metodo di somiglianza vista la forma del termine noto, si può scrivere nella forma $y_p(t) = A sin t + B cos t $ con $A $ e $B$ opportune costanti da determinare.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è molto semplice:
$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 $
Da quest'ultima si ottengono subito le due soluzioni $\lambda_{1,2} = 1 \pm i $ e di conseguenza si ha:
$y_o(t) = c_1 e^t sin t + c_2 e^t cos t $
A questo punto dovresti essere in grado di individuare qual è la risposta corretta...
"AndretopC0707":
Esiste un modo per verificare immediatamente, senza fare calcoli?
Beh, magari non proprio senza fare calcoli, ma facendone di molto semplici sì...
L'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y''−2y' +2y = cos t $
La soluzione $y(t) $ di una equazione differenziale si può sempre scrivere nella forma seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) $
ove $y_o(t) $ è la soluzione dell'equazione omogenea associata e $y_p(t) $ è una soluzione particolare che, facendo uso del metodo di somiglianza vista la forma del termine noto, si può scrivere nella forma $y_p(t) = A sin t + B cos t $ con $A $ e $B$ opportune costanti da determinare.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è molto semplice:
$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0 $
Da quest'ultima si ottengono subito le due soluzioni $\lambda_{1,2} = 1 \pm i $ e di conseguenza si ha:
$y_o(t) = c_1 e^t sin t + c_2 e^t cos t $
A questo punto dovresti essere in grado di individuare qual è la risposta corretta...
Va bene grazie.
La risposta corretta è la prima giusto?
La risposta corretta è la prima giusto?
"AndretopC0707":
Va bene grazie.
Prego.
"AndretopC0707":
La risposta corretta [...]
Alla risposta corretta ci si arriva ragionando: $e^t $ è una funzione periodica?
In che senso?
$e^t cost$ è periodica, anche per il seno.
Poi sommo la particolare e trovo che è comunque periodica perché sono sempre seno e coseno.
Non è corretto?
Poi sommo la particolare e trovo che è comunque periodica perché sono sempre seno e coseno.
Non è corretto?
$e^t \cos t$ non è periodica, prova ad applicare la definizione di funzione periodica e vedrai che non è soddisfatta.
Quindi quale è la risposta corretta?
AndretopC0707, il forum non funziona così. Avevi un'idea, ti abbiamo fatto vedere come mai non è corretta, ora ci pensi un po' su e, se non ne esci, torni qui e ne discutiamo nuovamente.
Tuttavia pensarci su significa portare argomenti a favore di una scelta e argomenti a sfavore delle altre; anche perché altrimenti non imparerai mai a ragionare autonomamente.
Tuttavia pensarci su significa portare argomenti a favore di una scelta e argomenti a sfavore delle altre; anche perché altrimenti non imparerai mai a ragionare autonomamente.
Io ho detto che secondo me la risposta corretta è la prima,
se non è corretto, non saprei.
Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Non saprei altrimenti
se non è corretto, non saprei.
Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Non saprei altrimenti
"AndretopC0707":
Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Infatti era proprio questo il ragionamento da fare: siccome la parte non periodica è data dai termini di $y_o(t) $, è chiaro che esiste una soluzione periodica se la soluzione dell'equazione omogenea associata scompare, e ciò accade se e solo se $c_1 = c_2 = 0 $.
Pertanto la risposta corretta è la seconda, non la prima...
Ma che sono queste equazioni differenziali? Un problema richiede che siano date anche le condizioni iniziali, se no si parla di aria fritta.
Quando c1=c2=0 è perché le condizioni iniziali su y e y' sono nulle, la soluzione del problema è la soluzione nulla, mica una soluzione periodica data dalla particolare...la risposta giusta è "nessuna"
Quando c1=c2=0 è perché le condizioni iniziali su y e y' sono nulle, la soluzione del problema è la soluzione nulla, mica una soluzione periodica data dalla particolare...la risposta giusta è "nessuna"
p.s. No ho detto una ca**ata. Colpa del problema che è mal posto.
"gtx":
p.s. No ho detto una ca**ata. Colpa del problema che è mal posto.
No, no, colpa della tua inutile voglia di polemizzare.
Vedi qui.
"pilloeffe":
[quote="AndretopC0707"]Mi viene da pensare che allora l’unica possibile sia che ce ne è solo una, nel caso in cui sia $c1$ che $c2$ siano nulle.
Infatti era proprio questo il ragionamento da fare: siccome la parte non periodica è data dai termini di $y_o(t) $, è chiaro che esiste una soluzione periodica se la soluzione dell'equazione omogenea associata scompare, e ciò accade se e solo se $c_1 = c_2 = 0 $.
Pertanto la risposta corretta è la seconda, non la prima...[/quote]
Ok grazie mille
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