Integrale triplo
Salve a tutti!
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Il volume $T$ è compreso tra un cono ed una semisfera. Ho utilizzato le coordinate cilindriche, ma c'è qualcosa che non mi convince. Risulta:
${ ( 0\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \min{\rho,\sqrt{2-\rho ^2}} ):}$
Penso non sia giusto. Infatti verrebbe
${ ( 0\le \rho \le 1 ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \rho ):}$ $\cup { ( 1\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \sqrt{2-\rho ^2} ):}$
Ma così sto prendendo anche i punti dentro il cono, no? Cosa sto sbagliando?
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Calcolare
$$\int\limits_T (x^2+y^2+z)\,dx\,dy\,dz$$
Essendo $T={(x,y,z)\in R^3: x^2+y^2+z^2\le 2,\ x^2+y^2\ge z^2,\ z\ge 0}$
Il volume $T$ è compreso tra un cono ed una semisfera. Ho utilizzato le coordinate cilindriche, ma c'è qualcosa che non mi convince. Risulta:
${ ( 0\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \min{\rho,\sqrt{2-\rho ^2}} ):}$
Penso non sia giusto. Infatti verrebbe
${ ( 0\le \rho \le 1 ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \rho ):}$ $\cup { ( 1\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \sqrt{2-\rho ^2} ):}$
Ma così sto prendendo anche i punti dentro il cono, no? Cosa sto sbagliando?
Risposte
Io proverei a esprimere le limitazioni di $\rho$ in funzione di $z$ anziché il contrario, mentre $z$ varierebbe tra $0$ e $1$ (che trovi intersecando cono e sfera).
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