Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Recentemente mi sono interessato un po' alle algebre di Boole (BA) e mi è sorta qualche domanda su esse (e su argomenti correlati), ma essendo tante non mi sembra una buona idea né metterle tutte in post diverse, né tutte nello stesso così vi chiedo delle referenze per le varie domanda che mi interessano (chiaramente se mi rispondete direttamente lo apprezzo maggiormente).
1) Come si fa a dimostrare che una BA completa e atomica è isomorfa a $P(X)EEX$?
2) Come si dimostra che una BA ...
Ciao
Ultimamente mi è caduto sott'occhio un fatto che può sembrare inutile, ma è interessante per me. Il punto in questione è questo:
"Tom Leister qui a pagina 1":37rlba5m:
Example 0.1 Let us denote with $1$ a set with one element. (It does not matter what this element is called.) Then $1$ has the following property:
for all sets $X$, there exists a unique map from $X$ to $1$.
Se \(X \ne ...
Salve.
In un esercizio che ho tentato di risolvere viene chiesto di definire, nell'insieme $ S=\{x,y,z\}$, un'operazione $ \star $ tale che la struttura algebrica $(S,\star)$ sia dotata di elemento neutro e che esista un elemento simmetrizzabile non regolare con simmetrici diversi.
Io ho trovato che una tavola del tipo:
$ x \star x = x<br />
;<br />
x \star y = y<br />
;<br />
x \star z = z<br />
;<br />
y \star x = y<br />
;<br />
y \star y = z<br />
;<br />
y \star z = z<br />
;<br />
z \star x = z<br />
;<br />
z \star y = z<br />
;<br />
z \star z = x<br />
;<br />
$
Dovrebbe soddisfare le condizioni richieste:
$ x $ è l'elemento neutro, il simmetrico sinistro di $ y $ è ...
Ciao a tutti!
Qualche giorno fa giocherellando con le fiches (o le chips) di poker con alcuni colleghi, è sorto un quesito (ed essendo io il matematico di turno sono stato incaricato di rispondere ).
Supponiamo di avere un numero pari $n$ di fiches, metà bianche e metà nere, e di dividerle in una pila bianca e una pila nera. Avvicinando le due pile l'una all'altra, con un gioco di abilità della mano, è possibile "mischiarle", ovvero creare un'unica pila di ...
Buonasera a tutti. Chiedo scusa, se abbiamo un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$ avente un numero finito di coniugati nel normalizzante $N_G(K) = N$ dove $K$ è un sottogruppo di $G$ tale che $|K : H|$ è finito (ossia l'indice di $H$ in $K$ è finito), perchè si ha che il gruppo quoziente $K/H_N$ (dove $H_N$ è il nocciolo di $H$ in $N$) è finito?? ...
Riporto nel seguito un esercizio del corso di Algebra 2, con la soluzione.
Esercizio: Si consideri il gruppo diedrale D4 delle simmetrie del quadrato.
i)omissis
ii)Sia F il sottoinsieme delle simmetrie di S4 (probabile refuso per D4 - NDR) che lasciano fisso almeno un vertice del quadrato.Stabilire se F è un sottogruppo di D4.
Soluzione (della professoressa): Non si tratta di un sottogruppo. Pensando alle permutazioni di S4 corrispondenti alle simmetrie del quadrato, F corrisponde al ...
Il gruppo $SL(n,R)$ é un normale gruppo di $GL(n,R)$
Per provarlo prendiamo un $X in SL(n,R)$ e un $P in GL(n,R)$:
$det(PXP^(−1))=det(P)det(X)det(P)^(−1)=det(X)=1$
Quindi $PXP^(−1) in SL(n,R)$
Fin qui ci siamo.
Domanda: ma se volessi dimostrarlo con le classi laterali é giusto far vedere
$det(PX)=det(XP)=det(P)$
Grazie.
Salve a tutti. Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto che se in un gruppo G tutti i sottogruppi abeliani sono virtualmente normali, allora G è FC-gruppo in quanto ogni sottogruppo ciclico è incluso nell'FC-Centro di G per un teorema precedentemente studiato ossia "Sia G un gruppo e H sottogruppo finitamente generato di G. Se H è finito oppure ciclico e virtualmente normale in G, allora H è incluso nell'FC-centro di G".
Ho dedotto che viene utilizzato il fatto che "H abeliano => H ...
Ho un dubbio riguardo i gruppi che preferisco esporre tramite un esempio.
Es. Dato il gruppo (Z*9,*) determinare se è ciclico.
Ho capito che un gruppo è ciclico se esiste un suo generatore. Allora ecco come procedo:
[1]=1^1=1..
[2]=2^1=2
=2^2=4
=2^3=8
=2^4=7
=2^5=5
=2^1=1
E così via...
Al termine di questo sono arrivato ad avere [2]=2,4,8,7,5,1 e [5]=5,7,8,4,2,1
Ora vedendo da un esempio su internet non capisco come facciamo [2] e [5] ad essere generatori visto che non ...
Salve sono nuovo del forum e chiedo preventivamente scusa se sbaglio nello scrivere qualcosa:
Avrei un esercizio dove dice di Dimostrare che ∀ n ∈ ℕ si ha:
$ 3∣(4^(n+1)+8) $
Io ho provato a farlo per induzione
cioè provarlo per n=0 si ha :
$3|(4+8) =>3|12 $ perciò vero
Supponendo sia vero per n dobbiamo provarlo per n+1 perciò abbiamo
$3|(4^(n+2)+8)$
Quindi
$3|((4^(n+1))*4+8 => 3|(4^(n+2)+8)$ verificata
però secondo me non è il giusto procedimento....c'è qualcuno che può aiutarmi e mi ...
Ciao a tutti! Stavo cercando di dare una dimostrazione a questa proposizione che il libro lascia come esercizio:
"Se \(\displaystyle F\) è un campo a caratteristica \(\displaystyle p >0\), e \(\displaystyle E/F \) è una sua estensione algebrica con la proprietà che se \(\displaystyle \alpha_1, ... , \alpha_n \) elementi di \(\displaystyle E \) sono linearmente indipendenti su \(\displaystyle F \) allora anche \(\displaystyle \alpha_1^p, ..., \alpha_n^p \) lo sono. Allora l'estensione ...
Buongiorno a tutti,
Vi scrivo per proporvi una dimostrazione alternativa dell'UTF.
L'idea è la seguente:
considero 6 numeri associati a x,y,z di cui 3 pari indicati con P(e relativo indice) e 3 dispari indicati con D(e relativo indice). Poi considero le disposizioni semplici dei sei oggetti P1,P2,P3,D1,D2,D3 di classe 3 come indicato nello schema 1 in trasparenza e le scrivo ( ne mancano alcune )
Prendo poi la prima disposizione P1,P2,P3 con i relativi sottocasi indicati in numeri romani ...
Salve a tutti ho difficoltà a capire la motivazione di questa scomposizione,potete aiutarmi a capire cortesemete?
$ (m^3)/(216) -64/27a^6b^3c^9 $
e la sua soluzione dovrebbe essere questa... $ (m/6-4/3a^2bc^3)(m^2/36+2/9a^2bc^3m+16/9a^4b^2c^6) $
...e non capisco i passaggi che si devono eseguire
Esercizio: determinare tutti i sottogruppi di $ A4 $ e dire quali sono normali.
Soluzione: per stabilire i sottogruppi di A4 ci soccorrono i teoremi di Lagrange, Cauchy e Sylow.
1. Per Lagrange, l'ordine dei possibili sottogruppi di A4 sono i divisori di 12, essendo 12 l'ordine di A4, quindi abbiamo 1, 2, 3, 4, 6, 12 (il primo e l'ultimo corrispondono ai sottogruppi banali).
2. Per Cauchy, essendo $ 12=2^2 \cdot 3 $ divisibile per i primi 2 e 3, esistono sottogruppi di ordine 2 e ...
Salve, questo è il mio primo post sul forum perciò scusatemi se sono abbastanza ignorante per voi.
Allora ho due domande.
1)Se esiste, costruire una biezione fra gli insiemi $ \R $ e $ \R − {0} $.
2) Sia X = {1, 2, 3, 4}. Definiamo una relazione R su P(X) come segue: per due elementi A, B ∈ P(X) si ha che A R B quando #A ≡ #B (mod 3)
(a) Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(b) Per ogni classe di equivalenza determinarne ...
Un poset $(P,<=)$ si dice localmente finito se ognuno degli intervalli $[a,b]={x\inP|a<=x<=b}$ è finito. Quello che mi stavo chiedendo è se questa condizione fosse o no equivalente alla seguente condizione: "ogni catena è isomorfa ad un sottoposet di $ZZ$".
Io ho provato a pensarci, ma in entrambi i casi se assumo una delle due condizioni non so come usare l'ipotesi quindi sono bloccato.
Ringrazio in anticipo chiunque risponderà.
Uno dei teoremi di Sylow recita che, se G è un gruppo finito di ordine $ p^alpha \cdot m $ , dove p è un numero primo e m non è divisibile per p, allora il numero dei p-SSG (Sylow's subgroups) distinti è un divisore di m, ed è congruo ad 1 modulo p.
Ora accade abbastanza di frequente che, a fronte di certi p e di certi m, si ottengano numeri di possibili p-SSG diversi.
I teoremi di Sylow non forniscono indicazioni su come dirimere questa aporia.
Se il gruppo G non è troppo complicato, talvolta ...
Continuando il mio precedente post sullo stesso argomento, ecco un'altra domanda. Sempre sul Piacentini-Cattaneo si trova il secondo teorema di isomorfismo dei gruppi (5.10.6 pagg. 263 - 264). Per comodità lo riscrivo qui.
" Sia G un gruppo e sia N un sottogruppo normale di G. Se H è un sottogruppo di G contenente N, allora
H sottogruppo normale di G H/N normale in G/N. Inoltre risulta: G/H isomorfo a (G/N)/(H/N)".
Dapprima dimostra che $H/N$ è normale in $G/N$, e ...
Salve a tutti, sono nuovo e spero di non aver cannato sezione al primo topic!!
Qualcuno potrebbe spiegarmi passo dopo passo come risolvere il seguente sistema di congruenze?
3x=1mod10
4x=2mod7
Poi tutti gli altri sistemi si risolvono nella stessa maniera vero?
Grazie anticipatamente!!!!
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