Elementi indipendenti e separabilità in un campo
Ciao a tutti! Stavo cercando di dare una dimostrazione a questa proposizione che il libro lascia come esercizio:
"Se \(\displaystyle F\) è un campo a caratteristica \(\displaystyle p >0\), e \(\displaystyle E/F \) è una sua estensione algebrica con la proprietà che se \(\displaystyle \alpha_1, ... , \alpha_n \) elementi di \(\displaystyle E \) sono linearmente indipendenti su \(\displaystyle F \) allora anche \(\displaystyle \alpha_1^p, ..., \alpha_n^p \) lo sono. Allora l'estensione \(\displaystyle E/F \) è separabile."
Qualcuno mi può dare una mano a risolverlo?
Io avevo pensato di usare il fatto che se \(\displaystyle \alpha \in E\) è algebrico, con polinomio minimo \(\displaystyle f \) di grado \(\displaystyle m \), allora \(\displaystyle \alpha, \alpha^2 ,...,\alpha^m \) sono indipendenti (per minimalità del polinomio), ma non riesco a sfruttare questo fatto per mostrare che allora \(\displaystyle f \) non può essere nella forma \(\displaystyle h(x^p) \)
"Se \(\displaystyle F\) è un campo a caratteristica \(\displaystyle p >0\), e \(\displaystyle E/F \) è una sua estensione algebrica con la proprietà che se \(\displaystyle \alpha_1, ... , \alpha_n \) elementi di \(\displaystyle E \) sono linearmente indipendenti su \(\displaystyle F \) allora anche \(\displaystyle \alpha_1^p, ..., \alpha_n^p \) lo sono. Allora l'estensione \(\displaystyle E/F \) è separabile."
Qualcuno mi può dare una mano a risolverlo?
Io avevo pensato di usare il fatto che se \(\displaystyle \alpha \in E\) è algebrico, con polinomio minimo \(\displaystyle f \) di grado \(\displaystyle m \), allora \(\displaystyle \alpha, \alpha^2 ,...,\alpha^m \) sono indipendenti (per minimalità del polinomio), ma non riesco a sfruttare questo fatto per mostrare che allora \(\displaystyle f \) non può essere nella forma \(\displaystyle h(x^p) \)
Risposte
Sarà l'ora tarda, ma credo sia vero quando $F$ è algebrico sul suo campo fondamentale $\mathbb F_p$; in questo caso il Frobenius è un automorfismo e deve mandare una $F$-base di $E$ (perché $n$ è la dimensione di $E$ su $F$, no?) in un'altra $F$-base ($F$-lineari invertibili mandano basi in basi.)
Quindi, sei sicur* che non stiamo quindi supponendo che $E$ sia perfetto?
Quindi, sei sicur* che non stiamo quindi supponendo che $E$ sia perfetto?
Grazie della risposta!
Dal testo non ho informazioni sul fatto che \(\displaystyle E \) sia perfetto o meno, ma comunque non so quanto aiuti, perché da come è espresso il problema non sono nemmeno certo che la dimensione di \(\displaystyle E/F \) sia \(\displaystyle n \): da come lo avevo interpretato \(\displaystyle E/F \) può anche essere un'estensione algebrica di grado non finito, a patto che la proprietà richiesta valga per ogni insieme di \(\displaystyle \alpha_1, ..., \alpha_n \) indipendenti (e non so se ad estensioni infinite si possa applicare il tuo ragionamento sull'automorfismo di Frobenius).
Sopratutto non capisco il perchè dell'ultima domanda: il fatto che \(\displaystyle E \) sia perfetto può implicare che \(\displaystyle F \) è algebrico su \(\displaystyle \mathbb{F}_p \)?
Dal testo non ho informazioni sul fatto che \(\displaystyle E \) sia perfetto o meno, ma comunque non so quanto aiuti, perché da come è espresso il problema non sono nemmeno certo che la dimensione di \(\displaystyle E/F \) sia \(\displaystyle n \): da come lo avevo interpretato \(\displaystyle E/F \) può anche essere un'estensione algebrica di grado non finito, a patto che la proprietà richiesta valga per ogni insieme di \(\displaystyle \alpha_1, ..., \alpha_n \) indipendenti (e non so se ad estensioni infinite si possa applicare il tuo ragionamento sull'automorfismo di Frobenius).
Sopratutto non capisco il perchè dell'ultima domanda: il fatto che \(\displaystyle E \) sia perfetto può implicare che \(\displaystyle F \) è algebrico su \(\displaystyle \mathbb{F}_p \)?
Sia $p$ la caratteristica di $F$ e sia $a\in E$ un elemento non separabile.
Allora il polinomio minimo su $F$ di $a$ ha la forma $f(X)=\sum_k a_kX^{pk}$.
Ne segue che gli elementi $a^{pk}$ sono linearmente dipendenti su $F$.
Allora, per ipotesi, anche gli elementi $a^k$ sono dipendenti. Esistono quindi
$b_k\in F$ con $\sum_k b_ka^{k}=0$. In altre parole, $a$ e’ zero del polinomio
$\sum_k b_kX^k$ di grado minore del grado di $f(X)$. Contraddizione.
Allora il polinomio minimo su $F$ di $a$ ha la forma $f(X)=\sum_k a_kX^{pk}$.
Ne segue che gli elementi $a^{pk}$ sono linearmente dipendenti su $F$.
Allora, per ipotesi, anche gli elementi $a^k$ sono dipendenti. Esistono quindi
$b_k\in F$ con $\sum_k b_ka^{k}=0$. In altre parole, $a$ e’ zero del polinomio
$\sum_k b_kX^k$ di grado minore del grado di $f(X)$. Contraddizione.
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