Sottogruppi di A4 (gruppo alterno di S4)
Esercizio: determinare tutti i sottogruppi di $ A4 $ e dire quali sono normali.
Soluzione: per stabilire i sottogruppi di A4 ci soccorrono i teoremi di Lagrange, Cauchy e Sylow.
1. Per Lagrange, l'ordine dei possibili sottogruppi di A4 sono i divisori di 12, essendo 12 l'ordine di A4, quindi abbiamo 1, 2, 3, 4, 6, 12 (il primo e l'ultimo corrispondono ai sottogruppi banali).
2. Per Cauchy, essendo $ 12=2^2 \cdot 3 $ divisibile per i primi 2 e 3, esistono sottogruppi di ordine 2 e 3.
3. Per Sylow, esistono i 2-Sylow (di ordine 4) e 3-Sylow.
3.1 I 2-Sylow sono in numero divisore di 3 e $ -= 1 mod2 $ ==> 1 oppure 3. In A4 i doppi scambi hanno ordine 2 e sono in numero di 3 ==>dovendo i 2-Sylow avere ordine 4, esiste un solo 2-Sylow formato dai tre doppi scambi e dall'identità.
3.2 I 3-Sylow sono sono in numero divisore di 4 e $ -= 1mod3 $ ==> 1 oppure 4. Poiché gli elementi dei 3-Sylow devono avere periodo pari a 3, corrispondente ai 3-cicli di A4 [del tipo (123), (124), ecc.], che sono in numero di 8, i 3-Sylow non possono essere uno solo, e quindi devono essere 4.
4. Normalità. Il 2-Sylow è unico ==> è coniugato di se stesso ==> è normale. Inoltre, esso è anche abeliano perché ha per ordine il quadrato di un numero primo (cfr. Piacentini Cattaneo teorema 5.12.4 pag. 275).
5. Esistono sottogruppi di ordine 6? Good question. Tali (o tale) sottogruppi(o) devono essere costituiti da 6 elementi, compresa l'identità, e devono avere (almeno) un elemento di ordine 6 [del tipo (12)(34)(123), per intenderci]. Con gli elementi di A4 si possono costruire diversi insiemi di 6 elementi con le caratteristiche richieste, ma dopo alcuni tentativi ho notato che nessuno soddisfa il criterio dei sottogruppi. Tuttavia non mi sento di escludere l'esistenza di tali sottogruppi. Qualcuno più bravo di me (ci vuole poco...) riesce a darmi qualche indicazione?
Per concludere allego una tabella riassuntiva dei sottogruppi di A4 (con un'ovvia incognita per quelli di ordine 6)
Soluzione: per stabilire i sottogruppi di A4 ci soccorrono i teoremi di Lagrange, Cauchy e Sylow.
1. Per Lagrange, l'ordine dei possibili sottogruppi di A4 sono i divisori di 12, essendo 12 l'ordine di A4, quindi abbiamo 1, 2, 3, 4, 6, 12 (il primo e l'ultimo corrispondono ai sottogruppi banali).
2. Per Cauchy, essendo $ 12=2^2 \cdot 3 $ divisibile per i primi 2 e 3, esistono sottogruppi di ordine 2 e 3.
3. Per Sylow, esistono i 2-Sylow (di ordine 4) e 3-Sylow.
3.1 I 2-Sylow sono in numero divisore di 3 e $ -= 1 mod2 $ ==> 1 oppure 3. In A4 i doppi scambi hanno ordine 2 e sono in numero di 3 ==>dovendo i 2-Sylow avere ordine 4, esiste un solo 2-Sylow formato dai tre doppi scambi e dall'identità.
3.2 I 3-Sylow sono sono in numero divisore di 4 e $ -= 1mod3 $ ==> 1 oppure 4. Poiché gli elementi dei 3-Sylow devono avere periodo pari a 3, corrispondente ai 3-cicli di A4 [del tipo (123), (124), ecc.], che sono in numero di 8, i 3-Sylow non possono essere uno solo, e quindi devono essere 4.
4. Normalità. Il 2-Sylow è unico ==> è coniugato di se stesso ==> è normale. Inoltre, esso è anche abeliano perché ha per ordine il quadrato di un numero primo (cfr. Piacentini Cattaneo teorema 5.12.4 pag. 275).
5. Esistono sottogruppi di ordine 6? Good question. Tali (o tale) sottogruppi(o) devono essere costituiti da 6 elementi, compresa l'identità, e devono avere (almeno) un elemento di ordine 6 [del tipo (12)(34)(123), per intenderci]. Con gli elementi di A4 si possono costruire diversi insiemi di 6 elementi con le caratteristiche richieste, ma dopo alcuni tentativi ho notato che nessuno soddisfa il criterio dei sottogruppi. Tuttavia non mi sento di escludere l'esistenza di tali sottogruppi. Qualcuno più bravo di me (ci vuole poco...) riesce a darmi qualche indicazione?
Per concludere allego una tabella riassuntiva dei sottogruppi di A4 (con un'ovvia incognita per quelli di ordine 6)
| ordine | quantità | p-Sylow | normale | forma |
|---|---|---|---|---|
| 1 | No | Si | {id} | 2 |
| No | No | {id, (12)(34)} e simili | 3 | 4 |
| No | {id, (123), (132)} e simili | 4 | 1 | Si |
| {id, (12)(34), (14)(23), (13)(24)} | 6 | ? | No | ? |
| 12 | 1 | No | Si | Tutto A4 |
Risposte
Se non ricordo male $A_4$ è proprio il controesempio classico che si utilizza per dimostrare che non vale l’inverso del teorema di Lagrange. Infatti $A_4$ ha ordine $12$ ma non ha alcun sottogruppo di ordine $6$ nonostante $6|12$
Ciao!
Per mostrare che non esistono sottogruppi di ordine 6 supponi per assurdo che H sia un sottogruppo di ordine 6 e mostra che i 3-Sylow di H sono normali in G. Ovviamente questo porta a una contraddizione.
"GBX1":L'elemento (12)(34)(123) non ha ordine 6.
devono avere (almeno) un elemento di ordine 6 [del tipo (12)(34)(123), per intenderci]
Per mostrare che non esistono sottogruppi di ordine 6 supponi per assurdo che H sia un sottogruppo di ordine 6 e mostra che i 3-Sylow di H sono normali in G. Ovviamente questo porta a una contraddizione.
Grazie per le risposte. 
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