Costruzione di biezione e classi di equivalenza
Salve, questo è il mio primo post sul forum perciò scusatemi se sono abbastanza ignorante per voi.
Allora ho due domande.
Se qualcuno mi può aiutare a farli e se mi possa dire perchè sono stati fatti in questo modo sarà perfetto.
Grazie in anticipo.
Allora ho due domande.
1)Se esiste, costruire una biezione fra gli insiemi $ \R $ e $ \R − {0} $.
2) Sia X = {1, 2, 3, 4}. Definiamo una relazione R su P(X) come segue: per due elementi A, B ∈ P(X) si ha che A R B quando #A ≡ #B (mod 3)
(a) Dimostrare che si tratta di una relazione di equivalenza.
(b) Per ogni classe di equivalenza determinarne la cardinalità.
Se qualcuno mi può aiutare a farli e se mi possa dire perchè sono stati fatti in questo modo sarà perfetto.
Grazie in anticipo.
Risposte
Il 2 è semplice... Cosa hai provato a fare?
Il 1 è un po’ più complicato. Comincia a lavorare sull’altro.
Il 1 è un po’ più complicato. Comincia a lavorare sull’altro.
-Allora del secondo sono riuscito a trovarne il numero delle classi di equivalenze che è 3 come stiamo trattando di un mod 3, e le classe di equivalenza sono C0,C1,C2 ma non riesco ad procedere più di questo.
-Del primo non riesco nemmeno a mettere le mani.
-Del primo non riesco nemmeno a mettere le mani.
Spero di non essere troppo esplicito visto l'intento del primo utente.
Metto sotto spoiler in caso volessi cimentarti senza aiuti
Per il primo esercizio
Metto sotto spoiler in caso volessi cimentarti senza aiuti
Per il primo esercizio
Se $R$ indica l'insieme $RR$ dei numeri reali, affinché esista una biiezione tra $RR$ ed $RR\setminus\{0\}$ è sufficiente trovare una funzione iniettiva \(f : \mathbb R\setminus\{0\} \to \mathbb R\) e una funzione iniettiva \(g : \mathbb R \to \mathbb R\setminus \{0\}\). E' chiaro che $f$ esiste (l'inclusione), ma è altrettanto chiaro che $g$ esiste ($t\mapsto e^t$).
Grazie per le risposte,
@Settevoltesette so che è possibile fare la traslazione ma il problema se faccio la traslazione allora quando traslo -1 di uno allora diventa 0 che non esiste nel secondo insieme è questa la cosa che mi blocca.
@Killing_buddha Allora per avere una biezione dobbiamo avere una funzione inversa di F (G) e tuttedue devono essere iniettive ma questa ultima parte
P.S: Qualcuno mi può aiutare pure col punto b della seconda domanda? Perchè so determinare i numeri di classi di equivalenza ma la cardinalità che mi esce non è giusta.
@Settevoltesette so che è possibile fare la traslazione ma il problema se faccio la traslazione allora quando traslo -1 di uno allora diventa 0 che non esiste nel secondo insieme è questa la cosa che mi blocca.
@Killing_buddha Allora per avere una biezione dobbiamo avere una funzione inversa di F (G) e tuttedue devono essere iniettive ma questa ultima parte
E' chiaro che f esiste (l'inclusione), ma è altrettanto chiaro che g esiste (t↦et).non è cosi chiara per me scusa se sono abbastanza ignorante.
P.S: Qualcuno mi può aiutare pure col punto b della seconda domanda? Perchè so determinare i numeri di classi di equivalenza ma la cardinalità che mi esce non è giusta.
"cptpackage":
il problema se faccio la traslazione allora quando traslo -1 di uno allora diventa 0 che non esiste nel secondo insieme è questa la cosa che mi blocca.
Allora per avere una biezione dobbiamo avere una funzione inversa di F (G)
Dove avrei detto che $f$ e $g$ sono una inversa dell'altra? Se esiste una funzione iniettiva $f : X\to Y$, e una funzione iniettiva $g : Y\to X$, ne esiste UNA TERZA biiettiva $X\to Y$.
I risultati potenti ci sono, usàteli.
Quello suggerito da k_b è l’approccio di chi fa soft mathematics da tanto tempo ed ha le mani lisce.
Chi, invece, fa hard mathematics direbbe che i risultati potenti vanno usati solo in casi di assoluta mancanza di idee su dove mettere le mani, callose e sporche, di chi lavora.
Una biiezione esiste, poiché i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Per trovarne una basta giocare un po’ con le mani.
Fissiamo una successione che approssima $0$, ad esempio quella di termine generale $1/n$ con $n in NN \setminus \{0\}$.
Posto:
\[
f(x):= \begin{cases}
x &\text{, se } x\neq 0, 1, 1/2, 1/3, \ldots , 1/n, \ldots\\
1 &\text{, se } x=0\\
1/2 &\text{, se } x=1\\
1/3 &\text{, se } x=1/2\\
\vdots & \\
1/(n+1) &\text{, se } x=1/n\\
\vdots
\end{cases}
\]
si vede che $f$ è biiettiva da $RR$ in $RR\setminus \{0\}$.
Chi, invece, fa hard mathematics direbbe che i risultati potenti vanno usati solo in casi di assoluta mancanza di idee su dove mettere le mani, callose e sporche, di chi lavora.
Una biiezione esiste, poiché i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Per trovarne una basta giocare un po’ con le mani.
Fissiamo una successione che approssima $0$, ad esempio quella di termine generale $1/n$ con $n in NN \setminus \{0\}$.
Posto:
\[
f(x):= \begin{cases}
x &\text{, se } x\neq 0, 1, 1/2, 1/3, \ldots , 1/n, \ldots\\
1 &\text{, se } x=0\\
1/2 &\text{, se } x=1\\
1/3 &\text{, se } x=1/2\\
\vdots & \\
1/(n+1) &\text{, se } x=1/n\\
\vdots
\end{cases}
\]
si vede che $f$ è biiettiva da $RR$ in $RR\setminus \{0\}$.
Chi, invece, fa hard mathematics direbbe che i risultati potenti vanno usati solo quando si vuole capire perché un risultato è vero, e non solo dimostrare che è vero.
FTFY.
Giusto per rinfrescarti la memoria e portarti un pizzico di luce in fondo alla miniera, nella dimostrazione che cito io la biiezione viene costruita (sebbene non sia costruttiva in senso tecnico, dato che c'è di mezzo una scelta), quindi ne trova una per $RR$ ed "$RR$ bucato" (diversa dalla tua, faticosamente ottenuta) e non paga di questo, ne trova una per due generici insiemi che soddisfino le stesse ipotesi. E quindi ti dice il motivo per cui il risultato vale.
Ora, se vogliamo paragonare una carriola senza una maniglia a uno shinkansen...
(Ah:
Sono curioso, come si dimostra che hanno la stessa cardinalità preliminarmente al trovare una biiezione?)
Una biiezione esiste, poiché i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Sono curioso, come si dimostra che hanno la stessa cardinalità preliminarmente al trovare una biiezione?)
Era euristica. Se ad un insieme infinito togli un punto, sempre lì rimani a livello di cardinalità. Quindi, l'esercizio ha senso... 
Per inciso, questo ragionamento ti dà proprio l'idea con cui è costruita la biiezione $f$: lascia fissi tutti i punti e spostane solo alcuni, uno alla volta, facendo un "buco" e poi "riempendolo".
Per inciso, questo ragionamento ti dà proprio l'idea con cui è costruita la biiezione $f$: lascia fissi tutti i punti e spostane solo alcuni, uno alla volta, facendo un "buco" e poi "riempendolo".
[ot]Cosa c'entra l'euristica con la teoria degli insiemi infiniti (e ancor più a largo raggio, con la matematica)?[/ot]
[ot]Ognuno approccia la Materia come vuole.
Tu guardi le proprietà di struttura e ti rifai a fatti generali per risolvere problemi semplici.
Io guardo le proprietà degli oggetti coinvolti in un problema e le uso per risolvere.
Qual è il problema?
A volte non basta sapere come costruire un mobile secondo i dettami della falegnameria tradizionale giapponese, ma bisogna proprio costruirlo.[/ot]
Tu guardi le proprietà di struttura e ti rifai a fatti generali per risolvere problemi semplici.
Io guardo le proprietà degli oggetti coinvolti in un problema e le uso per risolvere.
Qual è il problema?
A volte non basta sapere come costruire un mobile secondo i dettami della falegnameria tradizionale giapponese, ma bisogna proprio costruirlo.
[/ot]
[ot]
Ce ne sono due: la tua ignoranza del primo approccio ti fa pensare che i due siano antitetici, e su un piano di parità; non sono né antitetici, né della stessa dignità. Ho delle ragioni per preferire il primo.
Il secondo problema è la tua sottile insinuazione le mie siano parole che ci tengo a mantenere vuote di competenze tecniche.
So costruire un mobile meglio di te, perché penso di sapere cosa significa prendere in mano gli attrezzi.[/ot]
Qual è il problema?
Ce ne sono due: la tua ignoranza del primo approccio ti fa pensare che i due siano antitetici, e su un piano di parità; non sono né antitetici, né della stessa dignità. Ho delle ragioni per preferire il primo.
Il secondo problema è la tua sottile insinuazione le mie siano parole che ci tengo a mantenere vuote di competenze tecniche.
So costruire un mobile meglio di te, perché penso di sapere cosa significa prendere in mano gli attrezzi.[/ot]
[ot]Uno dei due dice "so usare i teoremi meglio di te"; l'altro dice "è importante allo stesso modo sapere tante cose, saperle usare con cognizione, e come ultimo passo sapere come quelle conoscenze si strutturano a formare un insieme coerente". Capisci cosa intendo quando dico che i due approcci non sono sullo stesso piano di parità?
Saltare l'ultimo passo è fare ancora matematica, ma abbastanza mediocre.[/ot]
Saltare l'ultimo passo è fare ancora matematica, ma abbastanza mediocre.[/ot]
[ot]Un volta tanto, sbagli tu a leggere.
È l'approccio che non mi piace: usare risultati generalissimi per "addomesticare" problemi elementari non ha mai solleticato troppo il mio interesse.
Mi piace più mettere le mani in pasta e provare, piuttosto che prendere un ricettario... Chiaro che, per cucinare cose buone provando, c'è bisogno di avere molta dimestichezza con gli ingredienti ed un po' di buon senso negli accostamenti: ciò si costruisce con anni di pratica e di studio.[/ot]
È l'approccio che non mi piace: usare risultati generalissimi per "addomesticare" problemi elementari non ha mai solleticato troppo il mio interesse.
Mi piace più mettere le mani in pasta e provare, piuttosto che prendere un ricettario... Chiaro che, per cucinare cose buone provando, c'è bisogno di avere molta dimestichezza con gli ingredienti ed un po' di buon senso negli accostamenti: ciò si costruisce con anni di pratica e di studio.[/ot]
[ot]Una teoria generale non è un ricettario che ordina asetticamente come in un dizionario tutti i teoremi costruibili, da dove al bisogno peschi ciecamente ciò che ti serve. Mi fa ridere tu lo creda.
E' più un manuale di design: invece di darti delle ricette, dà dei paradigmi di costruzione che ti permettono di capire "perché" il cioccolato e il tonno non vanno molto d'accordo. Senza farti perdere tempo a scoprirlo da te, tra l'altro.
Indovina qual è un'altra cosa che viene meglio quando la fai avendo in mente delle nozioni di design, piuttosto che un enorme bagaglio tecnico di fatti separati? La programmazione, l'antitesi del vuoto pensiero speculativo.
Se non ti piace procedere così, ti piace dimostrare le cose, ma non ti piace capire cosa hai dimostrato davvero. I gusti sono gusti, ma è evidente che questo non sia un approccio che ci fa parlare da pari a pari.[/ot]
E' più un manuale di design: invece di darti delle ricette, dà dei paradigmi di costruzione che ti permettono di capire "perché" il cioccolato e il tonno non vanno molto d'accordo. Senza farti perdere tempo a scoprirlo da te, tra l'altro.
Indovina qual è un'altra cosa che viene meglio quando la fai avendo in mente delle nozioni di design, piuttosto che un enorme bagaglio tecnico di fatti separati? La programmazione, l'antitesi del vuoto pensiero speculativo.
Se non ti piace procedere così, ti piace dimostrare le cose, ma non ti piace capire cosa hai dimostrato davvero. I gusti sono gusti, ma è evidente che questo non sia un approccio che ci fa parlare da pari a pari.[/ot]
[ot]Mai aspirato a diventare un tuo pari. Forse ti riesce difficile crederlo, ma c’è gente che è diversa da te e vive benissimo.
Sbaglio forse, ma ricordo che tempo fa fosti tu stesso a criticare le dispense di un docente (di Geometria, se non erro) accusandole di essere troppo piene di figure e di toglierti lo sfizio di rappresentarti gli oggetti da te.
Immagino ciò provi che, a volte, il design sta stretto a chiunque... Anche ai designer.
Inoltre, anche se non traspare, perché sto (come dicono a Roma) cojonandoti da mezza giornata, ti assicuro di sapere bene a cosa serve una “teoria generale”. Tuttavia, come detto, sono i casi particolari che mi interessano, la creatività che possono tirar fuori. Il resto, ormai, anche a causa dell’età forse o perché ho visto troppa gente copiare sempre dagli stessi manuali di design, lo trovo sufficientemente noioso.[/ot]
Sbaglio forse, ma ricordo che tempo fa fosti tu stesso a criticare le dispense di un docente (di Geometria, se non erro) accusandole di essere troppo piene di figure e di toglierti lo sfizio di rappresentarti gli oggetti da te.
Immagino ciò provi che, a volte, il design sta stretto a chiunque... Anche ai designer.
Inoltre, anche se non traspare, perché sto (come dicono a Roma) cojonandoti da mezza giornata, ti assicuro di sapere bene a cosa serve una “teoria generale”. Tuttavia, come detto, sono i casi particolari che mi interessano, la creatività che possono tirar fuori. Il resto, ormai, anche a causa dell’età forse o perché ho visto troppa gente copiare sempre dagli stessi manuali di design, lo trovo sufficientemente noioso.[/ot]
[ot]
"è importante allo stesso modo sapere tante cose, saperle usare con cognizione, e come ultimo passo sapere come quelle conoscenze si strutturano a formare un insieme coerente"[/quote]
Forse l'età ti ha anche fatto scordare i connettivi logici, mi sembrava di essere stato abbastanza chiaro.
Se le tue sono battute, puoi stare certo che invece il mio enorme disprezzo per la mediocrità del tuo atteggiamento (=decidere che ho detto qualcosa, ignorando che ho detto anche qualcos'altro, e perciò distorcendo il messaggio) è genuino.[/ot]
[quote]Immagino ciò provi che, a volte, il design sta stretto a chiunque... Anche ai designer.
"è importante allo stesso modo sapere tante cose, saperle usare con cognizione, e come ultimo passo sapere come quelle conoscenze si strutturano a formare un insieme coerente"[/quote]
Forse l'età ti ha anche fatto scordare i connettivi logici, mi sembrava di essere stato abbastanza chiaro.
Se le tue sono battute, puoi stare certo che invece il mio enorme disprezzo per la mediocrità del tuo atteggiamento (=decidere che ho detto qualcosa, ignorando che ho detto anche qualcos'altro, e perciò distorcendo il messaggio) è genuino.[/ot]
[ot]Dove ho scritto che non trovo importante conoscere la struttura?
Non lo ritrovo... Ma sarà l’età. (Dopotutto, anche tu hai passato i 30 e sai come si sta.)
Mi parrebbe strano averlo scritto, dato che quello che faccio di mestiere si basa sul “creare struttura”, i.e. sull’elaborare un quadro teorico in cui gli studenti riescano a trovare giustificazioni per le tecniche di calcolo e a stabilire nessi tra problemi diversi.
Solo, sai cosa? Trovo che a volte conoscere troppo la struttura faccia chiudere gli occhi.
Ciò non mi pare giusto, semplicemente perché tantissimi problemi seri che si trattano nella pratica non hanno ancora una controparte teorica sensatamente semplice da essere applicabile e le soluzioni “artigianali” fanno andare lo stesso avanti il mondo (l’hanno sempre fatto, e continueranno in futuro); dunque esercitarsi a trovare soluzioni artigianali ha una certa nobiltà, nonché utilità.
E, dopotutto, esisterebbe la Teoria delle Categorie senza che generazioni di matematici abbiano prodotto lavori (di ottimo o di scarso valore) su casi particolari? Non credo.
Esisterebbe la teoria delle EDO/EDP se per due/tre secoli non si fossero affrontati mille casi particolari ed inventate tecniche di risoluzione “ad hoc”? No, proprio no.
Esisterebbe la Matematica senza l’osso di Ishango? Probabilmente no.
Ma sto deviando dal discorso principale.
Per il resto, disprezzo o no, mediocrità o meno, ignoranza o sapienza, che lo scriva o lo giudichi tu qui ed ora poco mi importa (dato che non sei in una commissione giudicatrice per un concorso a cattedra, né nell’editorial board di una rivista).
Do il mio contributo e faccio ciò che posso per dare una mano, nel modo in cui ritengo giusto fare. Se questo viene apprezzato e fornisce spunti di crescita, fa piacere; altrimenti, non me ne faccio un cruccio.[/ot]
Non lo ritrovo... Ma sarà l’età. (Dopotutto, anche tu hai passato i 30 e sai come si sta.)
Mi parrebbe strano averlo scritto, dato che quello che faccio di mestiere si basa sul “creare struttura”, i.e. sull’elaborare un quadro teorico in cui gli studenti riescano a trovare giustificazioni per le tecniche di calcolo e a stabilire nessi tra problemi diversi.
Solo, sai cosa? Trovo che a volte conoscere troppo la struttura faccia chiudere gli occhi.
Ciò non mi pare giusto, semplicemente perché tantissimi problemi seri che si trattano nella pratica non hanno ancora una controparte teorica sensatamente semplice da essere applicabile e le soluzioni “artigianali” fanno andare lo stesso avanti il mondo (l’hanno sempre fatto, e continueranno in futuro); dunque esercitarsi a trovare soluzioni artigianali ha una certa nobiltà, nonché utilità.
E, dopotutto, esisterebbe la Teoria delle Categorie senza che generazioni di matematici abbiano prodotto lavori (di ottimo o di scarso valore) su casi particolari? Non credo.
Esisterebbe la teoria delle EDO/EDP se per due/tre secoli non si fossero affrontati mille casi particolari ed inventate tecniche di risoluzione “ad hoc”? No, proprio no.
Esisterebbe la Matematica senza l’osso di Ishango? Probabilmente no.
Ma sto deviando dal discorso principale.
Per il resto, disprezzo o no, mediocrità o meno, ignoranza o sapienza, che lo scriva o lo giudichi tu qui ed ora poco mi importa (dato che non sei in una commissione giudicatrice per un concorso a cattedra, né nell’editorial board di una rivista).
Do il mio contributo e faccio ciò che posso per dare una mano, nel modo in cui ritengo giusto fare. Se questo viene apprezzato e fornisce spunti di crescita, fa piacere; altrimenti, non me ne faccio un cruccio.
[/ot]
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