Definire nella tripletta $ S = \{x,y,z\} $ un'operazione con determinate caratteristiche

[continuumstst]

Salve.
In un esercizio che ho tentato di risolvere viene chiesto di definire, nell'insieme $ S=\{x,y,z\}$, un'operazione $ \star $ tale che la struttura algebrica $(S,\star)$ sia dotata di elemento neutro e che esista un elemento simmetrizzabile non regolare con simmetrici diversi.

Io ho trovato che una tavola del tipo:
$ x \star x = x
;
x \star y = y
;
x \star z = z
;
y \star x = y
;
y \star y = z
;
y \star z = z
;
z \star x = z
;
z \star y = z
;
z \star z = x
;
$
Dovrebbe soddisfare le condizioni richieste:
$ x $ è l'elemento neutro, il simmetrico sinistro di $ y $ è $ z $ mentre il simmetrico destro è $ y $ (l'unico dubbio è qui, siccome $ y $ in teoria se è simmetrico destro allora è anche simmetrico sinistro, ma il simmetrico destro di $ y $ ovviamente non può essere $ x $ né tantomeno $ z $). Infine, $ y $ è chiaramente non regolare.
E' corretto?

[killing_buddha]

Ciò che dici non è molto chiaro perché non è sicuro cosa significhi "simmetrizzabile" e "regolare" (per esempio, io sono convinto che simmetrizzabile significhi semplicemente invertibile, e regolare cancellativo da ambo i lati).

La pagina di wikipedia sui semigruppi con tre elementi lista, comunque, tutte le possibilità per una tale struttura, devi solo guardare quella che conviene a te.