Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

La categoria \(\mathbf{C}^{\rightarrow} \) ha per oggetti le frecce di \(\mathbf{C} \) e come frecce tra $f$ e \(f' \) le coppie \(g=(g_1,g_2) \) tali che \(\displaystyle g_2\circ f=f'\circ g_1 \). Ho una domanda sui funtori di questa categoria: il testo si limita a dirmi che ne possiede due, e mi fa vedere \[\displaystyle \mathbf{C}\stackrel{\mathbf{dom}}{\longleftarrow}\mathbf{C^\rightarrow}\stackrel{\mathbf{cod}}{\longrightarrow}\mathbf{C}. \] La mia domanda: cosa sono di ...

Salve, ho questo esercizio: Determinare tutte le soluzioni dell’equazione $[700]x + [700] = [0]$ in $ZZ_1400$. Quante sono? Il mio dubbio sorge per quelle parentesi quadre messe intorno ai numeri ma se ho capito cosa vogliono significare quelle sono classi di resto modulo 1400. Se così fosse io risolverei come se fosse una congruenza lineare: $[700]x + [700] = [0] \rArr 700x + 700 = 0(mod 1400) \rArr 700x = - 700(mod 1400) \rArr x=-1(mod 2) \rArr x=1(mod 2)$ Quindi le soluzioni sono infinite e sono tutti gli elementi della classe di resto $[1]_2$. Dato che chiede le soluzione ...

Un monoide è un insieme $M$ dotato di un'operazione binaria associativa \(\circ: M\times M\to M \) con un elemento neutro \(\displaystyle u_M \). Affermazione: un monoide è una categoria con un solo oggetto, i cui morfismi sono gli elementi del monoide. I monoidi con i loro omomorfismi costituiscono quindi una categoria concreta \(\mathbf{Mon}\). Stessa cosa in \(\mathbf{Group}\): ogni oggetto è un gruppo in cui ogni freccia è un isomorfismo. Che un monoide costituisca una ...

Ciao, sia $G$ un gruppo finito e siano $A,B \le G$ tali che $AB=BA$ (per cui è anche $AB \le G$). Indicando con $N(X)$ il normalizzante di $X$ in $G$, salvo errori ho dimostrato che $N(A) \nn N(B) \le N(AB)$. Si può dire qualcosa sui rapporti di inclusione tra $N(A)$ e $N(AB)$? Grazie

Vi chiedo un aiuto, sto guardando i teoremi di Sylow e sto cercando a piccoli passi di capirli. Ebbene, se io ho un gruppo $G$ di ordine $39$ in base ai teoremi di Sylow essendo $39 = 3*13$ io trovo che $13-Sylow$ è congruo a $1 mod 13$ e divide $3$, quindi c'è un unico $13$-sottogruppo di Sylow, $A$ che è normale in $G$.  Mentre il numero dei $3-Sylow$ è congruo a$ 1 mod 3$  e ...

Salve a tutti. Mi sono incartata in questo esercizio. Credo di averlo risolto ma non nel modo più matematico possibile. Dopo varie ricerche in ogni dove su internet mi appello a voi! Determinare il più piccolo numero naturale n tale per cui il cubo di n sia maggiore del triplo del quadrato più uno. $n^3 > 3n^2 + 1$ Ringrazio chiunque mi aiuterà. Io l ho svolto a tentativi per n = 0 poi 1, ecc. Fino ad arrivare che vale per n = 4. Non mi sembra un buon metodo.  Grazie ancora

Buongiorno. Scusatemi, studiando mi trovo davanti a tale risultato: Sia $K$ un sottogruppo finitamente generato di un gruppo $G$. Allora l'intersezione dei sottogruppi di indice finito di $K$ è uguale al sottogruppo identico {1}. Dunque il derivato di K ossia $K'$ ( che per definizione è uguale a $<< xyx^(-1)y^(-1) con x, y in K>>$) è uguale anch'esso al sottogruppo identico {1}. Il mio dubbio è: perchè si ha quest'ultima uguaglianza? Ho studiato i ...

La mia domanda è: nell'anello dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti su un campo K vale la legge di annullamento del prodotto? E' noto che in ogni anello $(K,+,*)$ dati due elementi $a,b in K$ si ha: $a=0$ o $b=0=>ab=0$ In generale non vale l'implicazione inversa, a meno che l'anello sopra considerato non sia unitario e invertibile; in tal caso diciamo che in $(K,+,*)$ vale la legge di annullamento del prodotto. Voglio infatti ricordare che ...

Salve a tutti, ho iniziato a studiare la teoria della coomologia, non ho trovato grossi problemi fino al complesso di De Rham, ma non riesco a capire per bene la sequenza di Mayer-Vietoris. Sapreste consigliarmi qualche libro, pdf o sito nel quale questo metodo venga spiegato abbastanza esaustivamente, magari rimanendo comprensibile anche per chi è relativamente all'inizio di questi studi? Grazie

Buonasera. Mi trovo davanti ad un passaggio su cui sto avendo difficoltà a capirne il perchè: Per ipotesi $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ ed $H$ risulta normale nella chiusura $H^G$ di $H$ in $G$. C'è scritto che allora $H$ risulta caratteristico in $H^G$. Mi sto scervellando scervellando ma non ho trovato la soluzione.. E' noto che un sottogruppo caratteristico in un gruppo è anche ...

Buonasera. Dato il seguente "esercizio": Se un gruppo G è prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi non abeliani e finiti, allora il centro di G ha Ordine finito. Io ho fatto un procedimento per assurdo e quindi ho supposto per assurdo che il centro di G avesse ordine infinito. Dunque (per definizione di centro di un gruppo) ciò vorrebbe dire che esisterebbero infiniti elementi di G permutabili con ogni elemento di G. Poichè G è prodotto diretto di una famigllia infinita di gruppi ...

Sia $ (K,+, *) $ un campo. La struttura algebrica $ (K[x],+,*) $ dei polinomi nell`indeterminata x con coefficienti in K è un anello commutativo unitario. Secondo voi in tale enunciato si sta commettendo un abuso di notazione, indicando con gli stessi simboli le operazioni di K e K[x]? Oppure è una convenzione? Perché il mio libro, pur omettendo in tale enunciato le operazioni di K, nella dimostrazione per indicarle fa utilizzo di quei simboli.

Sia $G={e,a_1,...,a_(n-1)}$ un gruppo. Se $a_ia_j=e$, allora $a_ia_j=a_ja_i$; se invece $a_ia_j=a_k$, allora $\exists l$ tale che $a_ja_i=a_l \Rightarrow$ $a_ia_ja_i=a_ia_l \Rightarrow$ $a_ka_i=a_ia_l \Rightarrow$ $a_l=a_i^(-1)a_ka_i$: il prodotto tra due elementi di $G$ e il prodotto ottenuto nell'ordine inverso sono elementi coniugati in $G$. Sto cercando di dimostrare il noto fatto nel titolo mediante la tesi $n \le 5 \Rightarrow |cl(a_k)|=1$, $\forall k$. È corretta questa impostazione? ...

Ciao, vorrei dimostrare questo fatto. Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$, e $r$ un intero che divide $n$. Allora $G$ contiene un unico sottogruppo ciclico di ordine $r$. Per ipotesi, \(n=kr \) per qualche \( k\) intero. Il gruppo si scrive come \[ G=\{g^m:m\in\mathbb{Z}, -n

Salve a tutti, ho questo esercizio da risolvere sfruttando il principio di induzione ma da un certo punto in poi non riesco a proseguire nella dimostrazione. Riporto la traccia dell'esercizio cosi come mi è stata assegnata. Sia $ (a_n)_(nin N) $ una successione in N e $ b> 1 $ Se $ AA nin N $ è $ a_n < b rArr AA nin N \sum_{i=0}^n a_ib^i <b^(n+1) $ Ho proceduto in questo modo. PASSO BASE Per n=0 $ a_0 < b $ da cui segue banalmente la tesi. PASSO INDUTTIVO Suppongo vero per n che $ AA nin N $ è ...

Salve a tutti. Premetto che è la prima volta che scrivo in questa sezione, e vi scrivo da studioso di fisica (infatti avevo un po' paura di farlo ). I matematici più incalliti si muniscano dunque di defibrillatore prima di continuare la lettura! Definizione. Dato un gruppo $G$ la rappresentazione fondamentale del gruppo è data da un' applicazione $R$ tale che: $R : G rightarrow Matrici \quad Quadrate$ $g \mapsto R[g] $ Inoltre: •$R[g_1]R[g_2]=R[g_1 • g_2]$; •$R[e] = I $ dove ...

Non riesco a risolvere questi esercizi di algebra e questo mi sta parecchio scoraggiando se penso a quello che troverò all'esame... 1- Dimostrare che se $a,b,c in ZZ$ e $a, n$ sono primi tra loro, da $ab-=ac (mod n)$ segue che $b-=c (mod n)$ . Qui ho cercato di usare il corollario secondo cui a,b primi tra loro implica $\alphaa+\betab=1$ solo che non capisco come possa aiutarmi 2 - Dimostrare che per ogni $n$ naturale si ha $7^n-=1 (mod 8)$ per ...

Buongiorno, stavo studiando da delle dispense e mi sono imbattuto nell'argomento "Unione Disgiunta di due insiemi". Ora nella dispensa sta scritto: Successivamente mi chiede questo. Esercizio: Calcolare A + 1 per 1 = {0} Non ho ben capito come procedere, potete darmi indicazioni . Grazie mille in anticipo.

Ciao a tutti! Questo è il mio primo post, frequento un'accademia di design che prevede un corso di logica, purtroppo il corso si è svolto molto male (in realtà non si è svolto, ma non sto qui a raccontarvi tutto). Ho un esame incombente per questo corso, per il quale ci è stata richiesta una ricerca su un argomento a scelta, il professore si è reso irraggiungibile, e io mi ritrovo senza alcun argomento da portare. Qualcuno ha qualche suggerimento in proposito?

Salve a tutti, sto preparando un esame di Topologia Differenziale (frequento un'università di fisica) e non riesco a capire alcuni risultati inseriti nel programma, vi posto direttamente i miei problemi sperando che qualche buon'anima mi chiarisca un pò le idee.. 1) Dimostrare che $SU(2)$ è il rivestimento doppio di $SO(3)$. Per questa dimostrazione ho seguito questo percorso: prima ho dimostrato che $S^3$ è isomorfo ai quaternioni unitari che a loro volta ...