Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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In $S_4$ se considero il sottogruppo $H $ $ <(12)(34),(13)(24) > = { e, (12 )(34),(13 )(24),(14 )(23)} $ come posso fare per dimostrare che si tratta di un sottogruppo normale utilizzando un omomorfismo.
Io sono arrivato a questo, basandomi sulla definizione del $Kern$ di un gruppo
$pi(e) = eH = e$
$pi(12)(34) = (12)(34)H = e$
$pi(13)(24) = (13)(24)H = e$
$pi(14)(23) = (14)(23)H = e$
Ne segue che il $Ker(pi)= H$
Grazie
Buongiorno a tutti. Sono perfettamente consapevole che sull'argomento ci sono altre discussioni, ma il mio dubbio verte su una soluzione di un esercizio che non condivido e vorrei il Vostro parere. Ecco il testo:
Determinare il numero di permutazioni del gruppo simmetrico $S_5$:
a. che hanno periodo 3
b. che hanno periodo 6.
SOLUZIONE Per determinare l'ordine di una permutazione è necessario scriverla come prodotto di cicli disgiunt e calcolare il minimo comune multiplo ...
Stamane mi è venuta in mente questa proposizione
Sia $G$ un gruppo finito. Consideriamo $g \in G$ tale che $g^k \in Co(g)$ per ogni $1 \leq k <o(g)$, allora $o(g)=1$ o $p$ primo.
Buongiorno,
vi scrivo perché non riesco a capire se l'ideale (7,X^2-3) ossia l'ideale generato da 7 e X^2-3 in Z[X] è primo o massimale.Ho provato varie strade:
1) quozientare per l'ideale e vedere se si otteneva un campo;
2)Quozientare e applicare i teoremi di isormofismo per provare a ricondurmi a qualche forma nota.
Sfortunamente non sono stato in grado di concludere qualcosa con nessuno dei 2 metodi.Avreste qualche suggerimento per un possibile approccio ?
Ciao ragazzi, vi propongo altri tre esercizi da controllare:
(i) Se \(\displaystyle x\in G \) ha ordine \(\displaystyle rs \), qual è l'ordine di \(\displaystyle x^r \)?
Per ipotesi si ha \(\displaystyle x^{rs}=1 \), quindi \((x^{r})^s=1\), per cui l'ordine \(\displaystyle k \) di \(\displaystyle x^r \) può essere al più $s$ (anche se a questo punto mi ero convinto che lo fosse già). Siccome \(\displaystyle x^{rk}=1=x^{rs} \), \(\displaystyle x^{rs-rk}=1 \) da cui ...
Probabilmente la domanda sarà molto banale, ma... Non riesco a calcolare
$ 2618259 mod 15 $
Senza svolgere la divisione. Ho concluso per ora che:
$ 2618259 mod 3=0 $
$ 2618259 mod 5=4 $
Ma non capisco come si fa a fare:
$ 2618259 mod 3*5 $
E più in generale $ k mod a*b $
Salve. Chiedo scusa, cosa è il rango di un gruppo abeliano senza torsione?
Grazie mille
Salve. Chiedo scusa, cosa significa la scrittura (immagino un'abbreviazione di termini inglesi, non saprei) Pot G con G gruppo abeliano periodico? Grazie mille
Ciao a tutti, vorrei avere una conferma sulla corretta soluzione dei seguenti esercizi di logica. Grazie mille
1)Stabilire se questa proposizione è vera o falsa e scriverne la negazione.
$ AA x in RR $ $ EE y in RR $ $ | $ $ x+y-3=0 $
Svolgimento:
$ y=3-x $ dunque è VERA
Negazione: $ EE x in RR $ $ | $ $ AA y in RR $ $ x+y-3 != 0 $
oppure... $ EEx in RR $ $ | $ ...
Salve a tutti ho questo esercizio che non so come risolvere.
Sia R sottoanello di Q[x], con
$\R={a+x^3f(x)|a \in Q, f(X)\in Q[x]}$
1. Provare che $\x^3,x^4,x^5$ sono irriducibili e che R non è un UFD.
Qui ho semplicemente fatto notare che non possiamo ridurli in R, dato che qui i polinomi hanno tutti grado maggiore di 3 (o al più sono costanti), quindi mancano i termini in x e x^2 per fattorizzare. Inoltre $\x^4$ divide $\x^8$ in R, ma non divide né $\x^3$ né ...
Buonasera,
sono uno studente frequentate il secondo anno di ingegneria che ha scoperto nei suoi anni universitari un profondo amore per la matematica.
Sarei interessato a conseguire la laurea magistrale in matematica e consapevole delle varie lacune causate da un percorso universitario differente ho deciso di iniziare a studiare quella buona parte della matematica che non viene affrontata ad ingegneria: specialmente algebra e geometria.
Ho iniziato il mio studio dell'algebra entrando in ...
Salve ragazzi, non riesco a trovare una soluzione a questo esercizio, ci sono dei metodi specifici oppure devo andare a tentativi?
Vi ringrazio in anticipo
Sia R = Z [size=70]900[/size] ,
Esiste in R un elemento a avente sia periodo additivo che periodo moltiplicativo pari a 30?
In alcuni testi ho letto che l'assioma di regolarità
$forall x ne emptyset -> exists y (y in x wedge not exists z (z in x wedge z in y))$
implica che non ci possono essere catene discendenti di insiemi del tipo
1) $x_1 in x_0, x_2 in x_1, x_3 in x_2, ...$
solo che secondo me le dimostrazioni riportate, al primo ordine non si possono usare.
Se c'è una catena discendente di insiemi in un modello della teoria formulata al primo ordine non è detto che ci sia anche l'insieme che li contiene.
Secondo me se si aggiungono un'infinità di costanti $x_0, x_1, x_2, ...$ alla teoria del primo ...
Sia \(\displaystyle H \) il sottogruppo generato da \(\displaystyle a,b\in G \). Mostrare che se \(\displaystyle ab=ba \), allora \(\displaystyle H \) è abeliano.
Si ha \(\displaystyle \forall x,y\in H \) che \(\displaystyle x=ar+bs \) e \(\displaystyle y=ar'+bs' \), per opportuni \(\displaystyle r,s,r',s'\in G \). Quindi: \[\displaystyle \begin{cases}xy=(ar+bs)(ar'+bs')=arar'+bsar'+arbs'+bsbs', \\ yx=(ar'+bs')(ar+bs)=ar'ar+ar'bs+bs'ar+bs'bs.\end{cases} \] Il problema è che da questo conto ...
Non so se è la sezione giusta, volevo porre una domanda di ordine filosofico più che matematico.
Mi chiedevo come si può esprimere tramite qualche condizione logica che un insieme $X$ - che contiene un certo elemento $e$ ed è chiuso rispetto alla funzione $s$ - contiene soltanto elementi del tipo
$e$
$s(e)$
$s(s(e))$
$s(s(s(e)))$
...
con qualche condizione logica (o magari con un'infinità di condizioni logiche ...
Salve a tutti. Chiedo scusa, sul materiale di studio c'è scritto: Dato un gruppo G, dati H e K sottogruppi di G, siano $H_1$, $H_2$,..., $H_n$ i coniugati di H in K e sia N la chiusura normale di H in $<<H, K>>$. Allora (per un certo teorema) N si può scrivere come prodotto degli $H_1$, $H_2$,..., $H_n$, ossia N = $H_1$$H_2$...$H_n$. Risulta che $<<H, K>>$ = NK. Perchè ...
Buonasera,
vi scrivo perché ho difficoltà nello svolgere il seguente esercizio:
Sia N l'applicazione norma \[ \text{N:H*}\rightarrow\text{R*}\] dimostrare per \[x\in\text{ker(N)}\],\[x\neq1\] , esiste \[y\in\text{H*}\] tale che \[x=[1+\overline{x},y]\]
Ho provato a seguire varie strade ma non riesco a giungere ad una conclusione.
Non riesco effettivamente a capire se ho dimostrato se y esiste o meno.
Per la dimostrazione ho provato quella per assurdo che mi sembra molto adatta al caso e per ...
Ciao a tutti, vi chiederei di controllare i seguenti esercizi di teoria dei gruppi:
(i) \(\displaystyle H\subset G \) è un sottogruppo se e solo se \(\displaystyle \forall x,y\in H \) \(\displaystyle xy^{-1}\in H \).
Innanzitutto, l'operazione indotta su \(\displaystyle H \) è ancora associativa. Si vede l'elemento identità appartiene ad $H$ prendendo \(\displaystyle x=y \), da cui \(\displaystyle xy^{-1}=xx^{-1}=e \). Prendendo poi \(\displaystyle x=e \), si ha \(\displaystyle ...
Ciao a tutti, non sono sicuro che questa sia la sezione giusta, ma tant'è. Sto iniziando a sfogliare per interesse personale il libro Algebra di Micheal Artin con l'intenzione di imparare un po' di teoria dei gruppi. Però ci sono svariati capitoli, e vorrei capire quali sono quelli fondamentali e quelli su cui posso glissare per un po': sicuramente II e VI, ma sono meno certo su V, VIII e IX. Voi sapreste consigliarmi?
Ciao a tutti, sto studiando il teorema di Morita sull'equivalenza di categorie di moduli. Devo dimostrare il seguente fatto, ma ho trovato delle difficoltà.
Siano $R$ and $S$ anelli equivalenti con equivalenze inverse $F: _{R}M \to _{S}M$ e $G: _{S}M \to _{R}M$. Siano $P=F(R)$, $Q=G(S)$.
Allora $P$ è (S,R) bimodulo e $Q$ è (R,S) bimodulo.
Nella dimostrazione l'autore richiama questi 2 isomorfismi di anelli:
...
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