Numero di generatori di un gruppo ciclico
\(\Box\) Quesito: quanti elementi di un gruppo ciclico di ordine \(n\) sono generatori per il gruppo?
Il testo suggerisce prima di lavorare con \(n=5,6,8,10\). Ragionando sui casi specifici trovo una possibile risposta: un elemento \(g^m\) è un generatore del gruppo se \(\text{gcd}(n,m)=1\). A grandi linee (\(=\) scrivendo un po' le cose all'acqua di rose) vi chiedo se vanno bene queste idee per dimostrare bene questa cosa:
\(\circ\) Un elemento con esponente non coprimo a \(n\) non genera il gruppo. Se \(\text{gcd}(n,m)\ne 1\), allora esiste un intero \(kk\) tali elementi possono essere ricondotti a quelli trovati in precedenza. Dunque, indipendentemente dalla scelta di \(j\) esiste almeno un elemento \(a\) tale che \(g^{jm}\ne a\).
\(\circ\) Un elemento con esponente coprimo a \(n\) genera il gruppo. Sia \(g^m\) un elemento del gruppo tale che \(\text{gcd}(n,m)=1\). L'argomento è simile al precedente; stavolta però \(j\) non è vincolato da alcun intero \(k\), dunque al variare di \(j\) si ottengono \(n\) elementi distinti, inclusa l'identità per \(j=n\).
BTW, gli elementi sono distinti perché \(g^{mj}=g^{mj'}\) implica \(g^{m(j-j')}=1\) da cui, supponendo \(m\ne 0\) (nel qual caso la faccenda è banale) deve essere \(j=j'\). Infatti se così non fosse e detto \(s=j-j'\) (posso supporre \(j>j'\) senza perdità di generalità) si avrebbe \(1=g^{ms}=g^{n}\): nel caso \(ms
Ciao.
Il testo suggerisce prima di lavorare con \(n=5,6,8,10\). Ragionando sui casi specifici trovo una possibile risposta: un elemento \(g^m\) è un generatore del gruppo se \(\text{gcd}(n,m)=1\). A grandi linee (\(=\) scrivendo un po' le cose all'acqua di rose) vi chiedo se vanno bene queste idee per dimostrare bene questa cosa:
\(\circ\) Un elemento con esponente non coprimo a \(n\) non genera il gruppo. Se \(\text{gcd}(n,m)\ne 1\), allora esiste un intero \(k
\(\circ\) Un elemento con esponente coprimo a \(n\) genera il gruppo. Sia \(g^m\) un elemento del gruppo tale che \(\text{gcd}(n,m)=1\). L'argomento è simile al precedente; stavolta però \(j\) non è vincolato da alcun intero \(k\), dunque al variare di \(j\) si ottengono \(n\) elementi distinti, inclusa l'identità per \(j=n\).
BTW, gli elementi sono distinti perché \(g^{mj}=g^{mj'}\) implica \(g^{m(j-j')}=1\) da cui, supponendo \(m\ne 0\) (nel qual caso la faccenda è banale) deve essere \(j=j'\). Infatti se così non fosse e detto \(s=j-j'\) (posso supporre \(j>j'\) senza perdità di generalità) si avrebbe \(1=g^{ms}=g^{n}\): nel caso \(ms
Ciao.
Risposte
Mi sembra corretto. A voler essere precisi, però, il quesito era "quanti" e non "quali". Quindi la risposta è questa funzione https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_φ_di_Eulero (come hai dimostrato).
Pensavo se questa potesse essere una dimostrazione equivalente:
$G$ è ciclico di ordine $n$ se e solo se (definizione) $\exists g \in G$ tale che $G=\{g^i, i=0,...,n-1\}$. Ora, esiste un altro generatore di $G$, diverso da $g$, se e solo se $\exists \bar k \in \{2,...,n-1\}$ tale che $\forall j \in \{0,...,n-1\}, \exists! i \in \{0,...,n-1\}$ tale che $j= \bar ki mod n$. Quindi, vogliamo che l'applicazione da $\{0,...,n-1\}$ in se stesso, definita da $i \mapsto \bar ki mod n$, sia biiettiva ovvero, equivalentemente, iniettiva; ma $(\bar ki mod n = \bar kj mod n \Rightarrow i=j) \Leftrightarrow (\bar k,n)=1$.
Può andare?
$G$ è ciclico di ordine $n$ se e solo se (definizione) $\exists g \in G$ tale che $G=\{g^i, i=0,...,n-1\}$. Ora, esiste un altro generatore di $G$, diverso da $g$, se e solo se $\exists \bar k \in \{2,...,n-1\}$ tale che $\forall j \in \{0,...,n-1\}, \exists! i \in \{0,...,n-1\}$ tale che $j= \bar ki mod n$. Quindi, vogliamo che l'applicazione da $\{0,...,n-1\}$ in se stesso, definita da $i \mapsto \bar ki mod n$, sia biiettiva ovvero, equivalentemente, iniettiva; ma $(\bar ki mod n = \bar kj mod n \Rightarrow i=j) \Leftrightarrow (\bar k,n)=1$.
Può andare?
Grazie per la risposta vict85. Non conoscevo questa funzione, stando all'articolo di Wiki sembra che la ritroverò più avanti nello studio dell'algebra. Molto interessante!
@Luca69: Dipende da cosa hai dimostrato prima. Questa dimostrazione mi sembra abbastanza elementare. La tua dimostrazione mi sembra leggermente ciclica. Insomma quella funzione è suriettiva se mandi un generatore in un generatore.
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