Proprietà universale degli interi
Prima di tutto, correggi il testo 
.
Secondariamente, penso che tu possa solo dimostrare che \(\langle h\rangle \cong \mathbb{Z}\). Infatti, se considero qualsiasi gruppo del tipo \(H = K\ltimes\mathbb{Z}\), \(K\) gruppo qualsiasi, posso senz'altro costruire una \(\phi_g\) come nella tua definizione.
.Secondariamente, penso che tu possa solo dimostrare che \(\langle h\rangle \cong \mathbb{Z}\). Infatti, se considero qualsiasi gruppo del tipo \(H = K\ltimes\mathbb{Z}\), \(K\) gruppo qualsiasi, posso senz'altro costruire una \(\phi_g\) come nella tua definizione.
Risposte
Prodotto semidiretto.
L'inversione è assolutamente falsa: basta prendere l'identità di un gruppo... sbaglio?
"j18eos":
L'inversione è assolutamente falsa: basta prendere l'identità di un gruppo... sbaglio?
Rileggi
.La proprietà di \(\mathbb{Z}\) dice che per ogni gruppo \(G\) ed elemento \(g \in G\), esiste un omomorfismo di gruppi che mappa \(1\) in \(g\). L'identità va sempre nell'identità, quindi non funziona.
Sia $H$ gruppo con la proprietà che esiste $h\inH$ tale che per ogni gruppo $G$ e per ogni $g \in G$ esista un unico omomorfismo di gruppi $\phi_g:H\toG$ tale che $\phi_{g} (h)=g$. Allora esiste un isomorfismo tra $H$ e $\ZZ$ che manda $h$ in $1$.Mi sembra banalmente vero per il solito argomento categoriale: se $(H_1,h_1)$, $(H_2,h_2)$ sono due oggetti universali esistono unici $f:H_1 to H_2$ e $k:H_2 to H_1$ tali che $f(h_1)=h_2$, $k(h_2)=h_1$. La composizione $kf:H_1 to H_1$ fissa $h_1$ quindi per l'unicità $kf=1$. La composizione $fk:H_2 to H_2$ fissa $h_2$ quindi per l'unicità $fk=1$. Segue che $f$ e $k$ sono isomorfismi (uno l'inverso dell'altro). Questo implica che $H_1$ e $H_2$ sono isomorfi.
@vict85 Eh no, non avevo letto bene. 
"Martino":Sia $H$ gruppo con la proprietà che esiste $h\inH$ tale che per ogni gruppo $G$ e per ogni $g \in G$ esista un unico omomorfismo di gruppi $\phi_g:H\toG$ tale che $\phi_{g} (h)=g$. Allora esiste un isomorfismo tra $H$ e $\ZZ$ che manda $h$ in $1$.Mi sembra banalmente vero per il solito argomento categoriale: se $(H_1,h_1)$, $(H_2,h_2)$ sono due oggetti universali esistono unici $f:H_1 to H_2$ e $k:H_2 to H_1$ tali che $f(h_1)=h_2$, $k(h_2)=h_1$. La composizione $kf:H_1 to H_1$ fissa $h_1$ quindi per l'unicità $kf=1$. La composizione $fk:H_2 to H_2$ fissa $h_2$ quindi per l'unicità $fk=1$. Segue che $f$ e $k$ sono isomorfismi (uno l'inverso dell'altro). Questo implica che $H_1$ e $H_2$ sono isomorfi.
Anche io avevo pensato così però poi ho considerato \(\mathrm{Dih}_{\infty} = \mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}_2\) e la funzione che mappava \(1\) in \(g\) e \(\sigma\) (il generatore di \(\mathbb{Z}_2\)) in \(e\). Sono lontano dalla matematica da un po' ma a me sembra che rispetti la proprietà. Sbaglio qualcosa?
Ciao Vittorio!
Se chiamiamo $x$ il generatore di $ZZ$ in [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex] allora $x sigma x = sigma$ ma se la mappa che dici fosse omomorfismo manderebbe $x sigma x$ in $g^2$ e $sigma$ in $e$ (elemento neutro). Segue che $g^2=e$ che in generale è falso.
Se vuoi vedila così: in molti casi il nucleo della mappa che hai definito sarebbe proprio il complemento $ZZ_2$, che però non è un sottogruppo normale di [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex]
Se chiamiamo $x$ il generatore di $ZZ$ in [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex] allora $x sigma x = sigma$ ma se la mappa che dici fosse omomorfismo manderebbe $x sigma x$ in $g^2$ e $sigma$ in $e$ (elemento neutro). Segue che $g^2=e$ che in generale è falso.
Se vuoi vedila così: in molti casi il nucleo della mappa che hai definito sarebbe proprio il complemento $ZZ_2$, che però non è un sottogruppo normale di [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex]
"Martino":
Ciao Vittorio!
Se chiamiamo $x$ il generatore di $ZZ$ in [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex] allora $x sigma x = sigma$ ma se la mappa che dici fosse omomorfismo manderebbe $x sigma x$ in $g^2$ e $sigma$ in $e$ (elemento neutro). Segue che $g^2=e$ che in generale è falso.
Se vuoi vedila così: in molti casi il nucleo della mappa che hai definito sarebbe proprio il complemento $ZZ_2$, che però non è un sottogruppo normale di [tex]\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}_2[/tex]
Hai ragione, ho girato il prodotto semidiretto... Però usando il prodotto diretto il problema della normalità si risolverebbe.
Ok ma in quel caso salta l'unicità.
Cioè chiamando $x$ un generatore di $ZZ$ e $s$ un generatore di $ZZ_2$ definiamo $A$ il gruppo ciclico generato da $x$ e $B$ il gruppo ciclico generato da $s$.
Se $A xx B$ fosse universale (rispetto al suo elemento $(x,1)$) allora applicando la proprietà universale esisterebbe un unico omomorfismo $f: A xx B to A xx B$ tale che [tex]f((x,1))=(x,1)[/tex].
Ma ne esistono almeno due: uno è l'identità, l'altro è la composizione
$A xx B to A to A xx B$
$(a,b) to a to (a,1)$
Quello che rende forte la proprietà universale è proprio l'unicità del morfismo.
Cioè chiamando $x$ un generatore di $ZZ$ e $s$ un generatore di $ZZ_2$ definiamo $A$ il gruppo ciclico generato da $x$ e $B$ il gruppo ciclico generato da $s$.
Se $A xx B$ fosse universale (rispetto al suo elemento $(x,1)$) allora applicando la proprietà universale esisterebbe un unico omomorfismo $f: A xx B to A xx B$ tale che [tex]f((x,1))=(x,1)[/tex].
Ma ne esistono almeno due: uno è l'identità, l'altro è la composizione
$A xx B to A to A xx B$
$(a,b) to a to (a,1)$
Quello che rende forte la proprietà universale è proprio l'unicità del morfismo.
Tranquillo
Il prodotto semidiretto di gruppi, per esempio, lo si spiega in corsi di soli teoria dei gruppi.
Il prodotto semidiretto di gruppi, per esempio, lo si spiega in corsi di soli teoria dei gruppi.
"Martino":
Ok ma in quel caso salta l'unicità.
Cioè chiamando $x$ un generatore di $ZZ$ e $s$ un generatore di $ZZ_2$ definiamo $A$ il gruppo ciclico generato da $x$ e $B$ il gruppo ciclico generato da $s$.
Se $A xx B$ fosse universale (rispetto al suo elemento $(x,1)$) allora applicando la proprietà universale esisterebbe un unico omomorfismo $f: A xx B to A xx B$ tale che [tex]f((x,1))=(x,1)[/tex].
Ma ne esistono almeno due: uno è l'identità, l'altro è la composizione
$A xx B to A to A xx B$
$(a,b) to a to (a,1)$
Quello che rende forte la proprietà universale è proprio l'unicità del morfismo.
Certo, mi sembrava di essermi dimenticato qualcosa. Con l'unicità tutto quadra
.
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