Azione di gruppo

[Alin2]

Ho trovato questo esercizio:
The group  a $Z_2$ acts on the real numbers by multiplication by  $(-1)^n$ Vorrei dimostrare
che si tratta di un'azione di gruppo, ma non capisco com'é definita la funzione. Chi é $n$? Dopo dovrei farcela.
Grazie infinite

[Reyzet]

Potrebbe essere che intenda: $(,):\mathbb{Z}_{2} \times
\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definita da $(n,x)=(-1)^n x$,con $n=0,1$ (che penso sia ben definita)

[Alin2]

Se fosse cosí, e penso che sia come tu hai detto,
con $n in ZZ_2$ e $x in RR$ abbiamo
$(-1)^0 \cdot x= x $ dove $ 0$ é l'identitá in $ZZ_2$
$ n \cdot (n_1 \cdot x)= n \cdot( (-1)^(n_1) \cdot x) = ( (-1)^(n_1) \cdot x)^n \cdot x = (n \cdot n_1) \cdot x$
I due assiomi di azione di gruppo sembrano verificati, per cui si tratta di un'azione di gruppo.
Cosa ne pensate? Grazie mille.

[Reyzet]

Ok, ma c'è un errore nella seconda.
È $(n,((m,x)))=(n,(-1)^m x)=(-1)^(n+m) x=(n+m,x)$ (usando la notazione $(,)$). Nota che nella definizione di azione compare l'operazione del gruppo che è la somma in questo caso.
Secondo me comunque è importante dire che è ben definita, essendo definita tramite classi.

[Alin2]

Ok! Ma quando dici definita tramite classi. cosa intendi.
Grazie