Differenza tra $subset$ e $subseteq$.

[galles90]

Salve,

volevo chiarire il mio seguente dubbio come da titolo. Riporto prima le definizione di sottoinsieme e sottoinsieme proprio, segue

Siano per entrambi due insieme $A,B$;
$A subseteq B leftrightarrow forall x : x in A to x in B$
$A subset B leftrightarrow (A subseteq B \wedge A ne B)$

Nella prima relazione, non si sta dicendo: che non esiste nessuno elemento $x in B : \ x notin A$, si sta solo dicendo che ogni elemento che appartiene a $B$, appartiene anche ad $A$.

[axpgn]

E potrebbero essere anche tutti; nel secondo caso no.

[galles90]

Ciao axpgn,

in altre parole, la differenza sostanziale sta proprio che, nella prima relazione ogni elemento di $B$ e anche elemento di $A$, quindi questo non ci autorizza a dire che non esiste qualche elemento di $A$ che non appartiene a $B$, invece la seconda ci autorizza a dire che ogni elemento di B e anche elemento di $A$ ma esiste necessariamente qualche elemento di $A$ che non appartiene a $B$.

[Studente Anonimo]

Sì ma occhio perché molti libri e articoli usano la seconda notazione per indicare un sottoinsieme generico, cioè scrivono

[tex]A \subset B[/tex]

e quello che hanno in mente è che A è un sottoinsieme di B che può essere uguale a B.

[vict85]

Come dice Martino, la notazione non è uniforme e l'esatto significato del simbolo \(\subset\) dipende dagli autori. Generalmente, gli autori usano \(\subset\) con il significato di \(\subseteq\) quando la possibilità di una uguaglianza è la norma e non crea problemi. Insomma, si cerca di minimizzare il numero di caratteri scritti. Nota che Latex supporta anche i simboli \(\subsetneq\), \(\varsubsetneq\), \(\subsetneqq\) e \(\varsubsetneqq\).

[galles90]

Grazie a tutti per le risposte.

Tralasciando l'interpretazione degli autori, e prendendo in considerazione le definizione date sopra,ossia

"galles90":

Siano per entrambi due insieme $ A,B $;
$ A subseteq B leftrightarrow forall x : x in A to x in B $
$ A subset B leftrightarrow (A subseteq B \wedge A ne B) $

l'osservazione che ho fatto è giusta, cioè questa

"galles90":Ciao axpgn,

in altre parole, la differenza sostanziale sta proprio che, nella prima relazione ogni elemento di $ B $ e anche elemento di $ A $, quindi questo non ci autorizza a dire che non esiste qualche elemento di $ A $ che non appartiene a $ B $, invece la seconda ci autorizza a dire che ogni elemento di B e anche elemento di $ A $ ma esiste necessariamente qualche elemento di $ A $ che non appartiene a $ B $.

Ciao