Numeri Naturali
Buongiorno, nel corso di Algebra I alla facoltà' di Matematica, mi sono imbattuto nella dimostrazione che "n non appatiene a se stesso".
La dimostrazione procede per assurdo, si suppone che "n appartenga a se stesso", da cui si ricava che "n appartiene a nU{n}" ed e chiaro, e contemporaneamente si afferma che nU{n} appartiene ad n".
Questa ultima affermazione non l'ho capita onestamente. Tenete presente che io sono uno studente-lavoratore e non ho la possibilità' di frequentare.
Grazie a chi avrà' la pazienza di fare capire anche a una testa dura come me.
Simone
La dimostrazione procede per assurdo, si suppone che "n appartenga a se stesso", da cui si ricava che "n appartiene a nU{n}" ed e chiaro, e contemporaneamente si afferma che nU{n} appartiene ad n".
Questa ultima affermazione non l'ho capita onestamente. Tenete presente che io sono uno studente-lavoratore e non ho la possibilità' di frequentare.
Grazie a chi avrà' la pazienza di fare capire anche a una testa dura come me.
Simone
Risposte
Se con \(n\) intendi ciò che solitamente si intende quando si definiscono i naturali, allora l'assioma per cui è vietato che \(n\in n\) è lo stesso che assicura che \(n\subsetneq n\cup\{n\}\).
No non e' in assioma che "n non appartiene a se stesso", c'e' la dimostrazione che dice che se lo si ammette porta a in assurdo.
Che io non ho capito.
Che io non ho capito.
"SimoneColombelli76":Ciao,
si afferma che nU{n} appartiene ad n.
La tua ipotesi è che $n in n$ ($n$ appartiene a $n$, cioè $n$ è un elemento di $n$).
Quello che vuoi dimostrare (la tesi) è che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex], cioè "$n uu {n}$ è contenuto in $n$", cioè che ogni elemento di $n uu {n}$ appartiene a $n$.
NB: ${n}$ indica l'insieme che contiene $n$ come unico elemento, cioè $n in {n}$ e non solo, abbiamo addirittura che se $x in {n}$ allora $x=n$.
NB: $A in B$ significa che $A$ è un elemento di $B$, mentre invece
[tex]A \subseteq B[/tex] significa che $A$ è contenuto in $B$, cioè che ogni elemento di $A$ appartiene a $B$, cioè è un elemento di $B$.
$in$ e [tex]\subseteq[/tex] sono due cose molto diverse!!
Ora tornando a noi
Vogliamo mostrare che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex].
Prendiamo quindi $x in n uu {n}$.
Vogliamo mostrare che $x in n$.
Per definizione di unione abbiamo due casi.
Caso 1. $x in n$. In questo caso $x in n$ che è quello che vogliamo dimostrare. Fine.
Caso 2. $x in {n}$. Osserva che ${n}$ è l'insieme che contiene $n$ come unico elemento. Quindi $x in {n}$ implica che $x=n$. Quello che vogliamo dimostrare, cioè $x in n$, diventa quindi $n in n$, che è vero per ipotesi. Fine.
Se \(n \in n\) allora \(n\cup \{n\} = n\).
Se \(n\cup \{n\} \subseteq n\), allora \(n\in n\), perché se \(X\) contiene \(A\cup B\), contiene sia \(A\) che \(B\).
Quindi \(n\in n\) se e solo se \(n\cup \{n\} = n\). La prima cosa è vietata da un assioma; la seconda si dimostra per assurdo, perché se fosse vera sarebbe falso l'assioma.
Se \(n\cup \{n\} \subseteq n\), allora \(n\in n\), perché se \(X\) contiene \(A\cup B\), contiene sia \(A\) che \(B\).
Quindi \(n\in n\) se e solo se \(n\cup \{n\} = n\). La prima cosa è vietata da un assioma; la seconda si dimostra per assurdo, perché se fosse vera sarebbe falso l'assioma.
Innanzi tutto di ringrazio per le risposte.
Ma non capisco come n∪{n} che lasciami dire e' piu' grande di n, ne sia sottoinsieme.
Poni il caso n=3, si avrebbe {2,1,0}U {3} incluso in {3}, che e' assurdo. Perche' e' come dire 4 incluso in 3.
Ma non capisco come n∪{n} che lasciami dire e' piu' grande di n, ne sia sottoinsieme.
Poni il caso n=3, si avrebbe {2,1,0}U {3} incluso in {3}, che e' assurdo. Perche' e' come dire 4 incluso in 3.
Ma è appunto questo che stai dimostrando. Che assumere $n in n$ porta a un assurdo. Ne deduci che $n in n$ è sempre falso. Non troverai mai nessun insieme che appartiene a se stesso, perché se esistesse quello che stai cercando di dimostrare qui sarebbe falso.
Lo so ma la dimostrazione data dal professore per dire che n non puo' appartenere a se stesso, dice che ponendo per assurdo che n appartenga a se stesso, valgono contemporaneamente! n incluso in nU{n} e nU{n}incluso in n, da cui nU{n}=n, da cui l'assurdo.
Chiaro.
Io non capisco il passaggio prima della contemporaneità' delle inclusioni!in particolare nU{n} incluso in n.
Non so se mi spiego.
Chiaro.
Io non capisco il passaggio prima della contemporaneità' delle inclusioni!in particolare nU{n} incluso in n.
Non so se mi spiego.
Hai letto il mio precedente intervento? Ti ho dimostrato che se $n in n$ allora $n uu {n}$ è incluso in $n$ con tutti i passaggi.
Il fatto che $n$ sia incluso in $n uu {n}$ non te l'ho dimostrato perché è totalmente immediato.
Il fatto che $n$ sia incluso in $n uu {n}$ non te l'ho dimostrato perché è totalmente immediato.
Si ho letto i passaggi ma non ho capito quello che dici che e' totalmente immediato, per me non lo e'....
Parlo di questo mio intervento, dove ho messo tutti i passaggi (non ho lasciato niente come "immediato"), l'hai letto dall'inizio alla fine?
La tua ipotesi è che $n in n$ ($n$ appartiene a $n$, cioè $n$ è un elemento di $n$).
Quello che vuoi dimostrare (la tesi) è che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex], cioè "$n uu {n}$ è contenuto in $n$", cioè che ogni elemento di $n uu {n}$ appartiene a $n$.
NB: ${n}$ indica l'insieme che contiene $n$ come unico elemento, cioè $n in {n}$ e non solo, abbiamo addirittura che se $x in {n}$ allora $x=n$.
NB: $A in B$ significa che $A$ è un elemento di $B$, mentre invece
[tex]A \subseteq B[/tex] significa che $A$ è contenuto in $B$, cioè che ogni elemento di $A$ appartiene a $B$, cioè è un elemento di $B$.
$in$ e [tex]\subseteq[/tex] sono due cose molto diverse!!
Ora tornando a noi
Vogliamo mostrare che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex].
Prendiamo quindi $x in n uu {n}$.
Vogliamo mostrare che $x in n$.
Per definizione di unione abbiamo due casi.
Caso 1. $x in n$. In questo caso $x in n$ che è quello che vogliamo dimostrare. Fine.
Caso 2. $x in {n}$. Osserva che ${n}$ è l'insieme che contiene $n$ come unico elemento. Quindi $x in {n}$ implica che $x=n$. Quello che vogliamo dimostrare, cioè $x in n$, diventa quindi $n in n$, che è vero per ipotesi. Fine.[/quote]
"Martino":Ciao,
[quote="SimoneColombelli76"]si afferma che nU{n} appartiene ad n.
La tua ipotesi è che $n in n$ ($n$ appartiene a $n$, cioè $n$ è un elemento di $n$).
Quello che vuoi dimostrare (la tesi) è che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex], cioè "$n uu {n}$ è contenuto in $n$", cioè che ogni elemento di $n uu {n}$ appartiene a $n$.
NB: ${n}$ indica l'insieme che contiene $n$ come unico elemento, cioè $n in {n}$ e non solo, abbiamo addirittura che se $x in {n}$ allora $x=n$.
NB: $A in B$ significa che $A$ è un elemento di $B$, mentre invece
[tex]A \subseteq B[/tex] significa che $A$ è contenuto in $B$, cioè che ogni elemento di $A$ appartiene a $B$, cioè è un elemento di $B$.
$in$ e [tex]\subseteq[/tex] sono due cose molto diverse!!
Ora tornando a noi
Vogliamo mostrare che [tex]n \cup \{n\} \subseteq n[/tex].
Prendiamo quindi $x in n uu {n}$.
Vogliamo mostrare che $x in n$.
Per definizione di unione abbiamo due casi.
Caso 1. $x in n$. In questo caso $x in n$ che è quello che vogliamo dimostrare. Fine.
Caso 2. $x in {n}$. Osserva che ${n}$ è l'insieme che contiene $n$ come unico elemento. Quindi $x in {n}$ implica che $x=n$. Quello che vogliamo dimostrare, cioè $x in n$, diventa quindi $n in n$, che è vero per ipotesi. Fine.[/quote]
Si ma l'introduzione della x mi confonde di più.
Non dovrebbe confonderti. Sto dimostrando un'inclusione tra insiemi. Bisogna prendere un elemento del primo insieme e dimostrare che appartiene al secondo insieme. Tale elemento va indicato con un simbolo, io ho scelto $x$, se vuoi scegline un altro.
Le inclusioni tra insiemi si dimostrano sempre così.
Le inclusioni tra insiemi si dimostrano sempre così.
io le ho viste fatte sempre dicendo n incluso in n, per ipotesi(n appartiene a n).
{n} incluso in n perche'?
{n} incluso in n perche'?
"SimoneColombelli76":Perché ${n}$ ha un unico elemento, l'elemento $n$, e tale elemento appartiene a $n$ per ipotesi.
{n} incluso in n perche'?
Questo significa che ogni elemento di ${n}$ appartiene a $n$, che è la definizione di inclusione [tex]\{n\} \subseteq n[/tex].
Ricorda che stai supponendo $n in n$ ($n$ appartiene a $n$) per ipotesi!
PS. Le parole "appartiene" e "incluso" hanno significati totalmente diversi!
Per esempio $3$ appartiene a ${1,2,3}$
ma ${3}$ non vi appartiene
(in simboli, $3 in {1,2,3}$, [tex]\{3\} \not \in \{1,2,3\}[/tex]).
Per esempio ${3}$ è incluso in ${1,2,3}$,
come lo è ${1,2}$
(in simboli, [tex]\{3\} \subseteq \{1,2,3\}[/tex], [tex]\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}[/tex]).
Grazie ho capito.
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