Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Let $\mathcal(T)_alpha$ be a family of topologies on $X$. Show that there is a unique smallest topology on $X$ containing all the collections $\mathcal(T)_alpha$, and a unique largest topology contained in all $\mathcal(T)_alpha$ . L'esercizio proviene dal "Topology. Second Edition" di Munkres pag 83 es. 4b. Per adesso non sono andato molto lontano, ho soltanto definito una base che genera una topologia che contiene l'unione di tutte le ...

Buonasera, se considero un'operazione interna $**$ in $ZZ$ definita $(x**y)=x^2+y-1$, risulta essere non commutativa in effetti per $x=0$ e $y=2$ risulta $0**2=1$ e $2**0=3$,pertanto non è commutativa. Invece per $x=1 $ e $y=0$ si ha $1**0=0=0**1$ cioè $1,0$ sono permutabili. Ora se volessi determinare gli elementi centrali in $ZZ$, dove: $x in S$ dicesi ...

"Nel gruppo simmetrico S5 è assegnata la permutazione: σ = (1 4)(3 5)(4 3 2 5). Determinare l’ordine, la parità di σ e tutti i sottogruppi di $<σ>$. Definire almeno due isomorfismi dal gruppo ciclico $<σ>$ al gruppo $(Z_n,+)$, per un determinato $n > 1$." Questo è il testo dell'esercizio, non ho problemi fino all'ultima richiesta, ovvero quella di "Definire almeno due isomorfismi...". L'unico isomorfismo che riesco a trovare è $f(σ^x)=x$ da ...

Salve a tutti, Ho questo esercizio da fare ma sono piuttosto confuso (vedi foto). Non mi spaventa perché a vederlo così finché si tratta di fare dei calcoli (anche se pesanti )non ho problemi. Ciò che mi spiazza è che non so di cosa si parli...Per me le permutazioni avevano a che fare con la statistica, non con questo... Lasciando stare la teoria, potete dirmi che cosa devo fare ? Che operazioni svolgere? Anche senza che facciate i conti, tipo : fai il prodotto tra matrici, ...

Salve a tutti ragazzi potreste darmi una mano a capire come risolvere il seguente esercizio? Consideriamo lo spazio vettoriale V = Matr(2,2(R)) costituito delle matrici 2 x 2 a coefficienti reali, e sia F:V---->V l'applicazione lineare che manda le matrici della base standard di V $ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) :}) $ rispettivamente in: $ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) :} )$ $ ({: ( 1 , a ),( 3, 4) :} )$ per quali valori del parametro a, l'applicazione ...

Salve a tutti, ho appena finito di fare un'esame e volevo un chiarimento sul seguente quesito. dato il seguente polinomio: $ x^4-8x^3+25x^2-36x+20 $ Calcolare le radici razionali; La sua fattorizzazione in R,C e Z(5) Ora premetto di essere andato moolto a logica, ho pensato "bhe è di quarto grado, quindi sarà dato da una moltiplicazione di due polinomi di secondo grado", ho provato con $(x-2)^2(x-2)^2 $ e ho notato che mi sono avvicinato molto,quindi ho semplicemente aggiunto 1 a $(x^2-4x+4)$, ...

Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \) 1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \); 2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano) 3. ...

Ciao a tutti! Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questi esercizi? Non ho nessuna idea di come iniziare Grazie!

Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene. Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione) $\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $ $\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva) $\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$ Possiamo quindi distinguere due casi: $x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$ $x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$ In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$ Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$

Il polinomio di terzo grado $x^3-1$ ha una radice reale $x_1=1$ e due complesse coniugate, nel gruppo degli automorfismi la radice reale appartiene al campo fisso $Q$ quindi negli automorfismi non può essere scambiata in alcun modo con una delle radici complesse, che invece sono interscambiali tra di loro, pertanto il gruppo di Galois è $S_2$, giusto? Nel caso invece del polinomio $x^3-2$ abbiamo sempre una radice reale ...

Salve a tutti, Stavo svolgendo degli esercizi quando mi sono imbattuto in questo : Vero o falso? [formule] 1 ∈ {1,2,{3,4}} [/formule] oppure [formule] {1,2} ⊆ {1,2,{3,4}} [/formule] Sinceramente non ho proprio idea di cosa debba fare per rispondere alla domanda. Credo di aver capito la domanda, cioè se 1 appartiene all'insieme [formule]. {1,2,{3,4}} [/formule] di cui {3,4} è un insieme (diverso da 3,4). E per me la prima è vera perché si uno appartiene ma non lo so dimostrare. Stessa cosa per ...

Ciao. Definisco un polinomio a coefficienti in un anello unitario \( R \) nell'indeterminata \( X \) come una \( M \)-upla a coefficienti in \( R \), a supporto finito, dove \( M \) è il monoide libero su \( \{X\} \) (l'insieme di tutte le parole nell'alfabeto \( \{X\} \) - le tuple \( (X,X,\dots,X) \)). Definisco il prodotto di due polinomi \( A\colon X^k\mapsto a_k \) e \( B\colon X^k\mapsto b_k \) come il polinomio \( AB\colon X^k\mapsto\sum_{i + j = k}a_ib_j \); questo ragazzo è ancora una ...

Ciao a tutti, posto un esercizio di esame di matematica discreta. Non riesco proprio a capire cosa devo determinare in questo esercizio, piu precisamente non riesco a capire cosa si intenda con la notazione MB,B'(f). posto un immagine dell'esercizio per essere piu chiari.

Buonasera, se considero l'insieme $A={1,2,3,4,5,6}$ dove è definita la seguente relazione $a R b <=> a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b$ Devo verificare che è una relazione d'ordine.Quindi riflessività $forall a in A $ si ha $a Ra to a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b $ essendo che $a=a$ implica che $R$ è riflessiva. asimmetria $forall a,b in A $ tale che $a R b $ e $bRa$ implica $a=b$, dal fatto che: $(a Rb $ si ha $a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b )$ e $(b Ra $ si ha ...

Buonasera, vi riporto alcuni esercizi tratti da temi di esame sulle applicazioni. Considero $f:x in ZZ to 4x+12 in 2ZZ$ e $g:x in 2ZZ to |x/2|+1 in NN$ $f({0,2,-4})={y in 2ZZ: EE x in X={0,2,-4}:y=f(x)}={12,20,-4}$, $g({0,2,-2,-4})={y in NN:EE x in S={0,2,-2,-4}:y=g(x)}={1,2,2,3}$, $f^(-1)({-4,-6,2,4})={x in ZZ:f(x) in Y={-4,-6,2,4}},$ Per cui si ha: $4x+12=-4 <=>4x=-4-12=-16 <=> x=-4 in ZZ$, $4x+12=-6 <=> 4x=-12-6=-18 <=> x=-9/2 notin ZZ$, $4x+12=2 <=> 4x=-12+2=-10 <=> x=-5/2 notin ZZ$, $4x+12=4<=> 4x=-12+4=-8 <=> x=-2 in ZZ $, infine $f^(-1)({-4,-6,2,4})={-2-4}$, $f^(-1)(2ZZ)={x in ZZ:f(x) in 2ZZ}={x in ZZ: y=4x+12 in 2ZZ}=ZZ$, $f(ZZ)={y in 2ZZ:EEx in ZZ : y=f(x)}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4x+12}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4(x+3)}=4ZZ$, $forall y in 2ZZ$ $f^(-1)({y})={x in ZZ : f(x)=y}={x in ZZ : y=4x+12}={x in ZZ : x=(y-12)/4}$ gli elementi $y in 2ZZ$ possono essere del tipo $y=2k$ oppure $y=4k$ con ...

Suppose $ H $ and $ K $ are subgroups of finite index in the (possibly infinite) group $ G $ with $ |G : H| = m $ and $ |G : K| = n $. Prove that $ lcm(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $ . Per adesso sono arrivato a dimostrare $ max(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $, cerco un aiuto per finire l'esercizio. Di seguito riporto l'approccio che sto utilizzando. Faccio un paio di puntualizzazioni: 1) Con $ g_([X]) $ indico il coset di $ X $ in ...

Ragazzi ho dei dubbi riguardanti questa traccia: 1) Sia f una funzione da NxN in N, tale che f(x,y)= xy +1 sia associativa. Ho provato a partire dalla definizione della proprietà associativa, quindi (x*y) *z = x*(y*z) poi mi sono bloccato e non so come andare avanti 2) Calcolare l'inverso di 101 mod 113 Mi esce come risultato 47 mod 113, penso sia corretto. 3) Siano A,B matrici mxm su un campo K tali che AB=BA. Dimostrare (A^n) *B=B*(A^). Risolta usando il principio d'induzione. Era la ...

Per "complessi" intendo che siano in $ CC\\ RR $. Esistono? Potete farmi degli esempi?

Ciao raga. Ho queste 5 opzioni: - New York - Toronto - Londra - Manila -Sydney Devo scegliere quale escludere delle 5. Ad occhio ho detto Manila, salvo poi ricordare che è la capitale delle Filippine mentre io pensavo ad altro. In ogni caso la risposta corretta è proprio Manila. Quale può essere un ragionamento logico che mi porta ad escluderla dalle altre opzioni? Va bene un esempio qualsiasi. Purtroppo non riesco ad arrivarci!

Chiedo un hint per risolvere il seguente esercizio: