Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutti, ho appena finito di fare un'esame e volevo un chiarimento sul seguente quesito. dato il seguente polinomio: $ x^4-8x^3+25x^2-36x+20 $ Calcolare le radici razionali; La sua fattorizzazione in R,C e Z(5) Ora premetto di essere andato moolto a logica, ho pensato "bhe è di quarto grado, quindi sarà dato da una moltiplicazione di due polinomi di secondo grado", ho provato con $(x-2)^2(x-2)^2 $ e ho notato che mi sono avvicinato molto,quindi ho semplicemente aggiunto 1 a $(x^2-4x+4)$, ...

Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \) 1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \); 2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano) 3. ...

Ciao a tutti! Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questi esercizi? Non ho nessuna idea di come iniziare Grazie!

Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene. Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione) $\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $ $\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva) $\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$ Possiamo quindi distinguere due casi: $x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$ $x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$ In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$ Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$

Il polinomio di terzo grado $x^3-1$ ha una radice reale $x_1=1$ e due complesse coniugate, nel gruppo degli automorfismi la radice reale appartiene al campo fisso $Q$ quindi negli automorfismi non può essere scambiata in alcun modo con una delle radici complesse, che invece sono interscambiali tra di loro, pertanto il gruppo di Galois è $S_2$, giusto? Nel caso invece del polinomio $x^3-2$ abbiamo sempre una radice reale ...

Salve a tutti, Stavo svolgendo degli esercizi quando mi sono imbattuto in questo : Vero o falso? [formule] 1 ∈ {1,2,{3,4}} [/formule] oppure [formule] {1,2} ⊆ {1,2,{3,4}} [/formule] Sinceramente non ho proprio idea di cosa debba fare per rispondere alla domanda. Credo di aver capito la domanda, cioè se 1 appartiene all'insieme [formule]. {1,2,{3,4}} [/formule] di cui {3,4} è un insieme (diverso da 3,4). E per me la prima è vera perché si uno appartiene ma non lo so dimostrare. Stessa cosa per ...

Ciao. Definisco un polinomio a coefficienti in un anello unitario \( R \) nell'indeterminata \( X \) come una \( M \)-upla a coefficienti in \( R \), a supporto finito, dove \( M \) è il monoide libero su \( \{X\} \) (l'insieme di tutte le parole nell'alfabeto \( \{X\} \) - le tuple \( (X,X,\dots,X) \)). Definisco il prodotto di due polinomi \( A\colon X^k\mapsto a_k \) e \( B\colon X^k\mapsto b_k \) come il polinomio \( AB\colon X^k\mapsto\sum_{i + j = k}a_ib_j \); questo ragazzo è ancora una ...

Ciao a tutti, posto un esercizio di esame di matematica discreta. Non riesco proprio a capire cosa devo determinare in questo esercizio, piu precisamente non riesco a capire cosa si intenda con la notazione MB,B'(f). posto un immagine dell'esercizio per essere piu chiari.

Buonasera, se considero l'insieme $A={1,2,3,4,5,6}$ dove è definita la seguente relazione $a R b <=> a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b$ Devo verificare che è una relazione d'ordine.Quindi riflessività $forall a in A $ si ha $a Ra to a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b $ essendo che $a=a$ implica che $R$ è riflessiva. asimmetria $forall a,b in A $ tale che $a R b $ e $bRa$ implica $a=b$, dal fatto che: $(a Rb $ si ha $a=b \ qquad "o" \ qquad 2a le b )$ e $(b Ra $ si ha ...

Buonasera, vi riporto alcuni esercizi tratti da temi di esame sulle applicazioni. Considero $f:x in ZZ to 4x+12 in 2ZZ$ e $g:x in 2ZZ to |x/2|+1 in NN$ $f({0,2,-4})={y in 2ZZ: EE x in X={0,2,-4}:y=f(x)}={12,20,-4}$, $g({0,2,-2,-4})={y in NN:EE x in S={0,2,-2,-4}:y=g(x)}={1,2,2,3}$, $f^(-1)({-4,-6,2,4})={x in ZZ:f(x) in Y={-4,-6,2,4}},$ Per cui si ha: $4x+12=-4 <=>4x=-4-12=-16 <=> x=-4 in ZZ$, $4x+12=-6 <=> 4x=-12-6=-18 <=> x=-9/2 notin ZZ$, $4x+12=2 <=> 4x=-12+2=-10 <=> x=-5/2 notin ZZ$, $4x+12=4<=> 4x=-12+4=-8 <=> x=-2 in ZZ $, infine $f^(-1)({-4,-6,2,4})={-2-4}$, $f^(-1)(2ZZ)={x in ZZ:f(x) in 2ZZ}={x in ZZ: y=4x+12 in 2ZZ}=ZZ$, $f(ZZ)={y in 2ZZ:EEx in ZZ : y=f(x)}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4x+12}={y in 2ZZ:EE x in ZZ : y=4(x+3)}=4ZZ$, $forall y in 2ZZ$ $f^(-1)({y})={x in ZZ : f(x)=y}={x in ZZ : y=4x+12}={x in ZZ : x=(y-12)/4}$ gli elementi $y in 2ZZ$ possono essere del tipo $y=2k$ oppure $y=4k$ con ...

Suppose $ H $ and $ K $ are subgroups of finite index in the (possibly infinite) group $ G $ with $ |G : H| = m $ and $ |G : K| = n $. Prove that $ lcm(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $ . Per adesso sono arrivato a dimostrare $ max(n,m)<=|G :Hnn K|<=nm $, cerco un aiuto per finire l'esercizio. Di seguito riporto l'approccio che sto utilizzando. Faccio un paio di puntualizzazioni: 1) Con $ g_([X]) $ indico il coset di $ X $ in ...

Ragazzi ho dei dubbi riguardanti questa traccia: 1) Sia f una funzione da NxN in N, tale che f(x,y)= xy +1 sia associativa. Ho provato a partire dalla definizione della proprietà associativa, quindi (x*y) *z = x*(y*z) poi mi sono bloccato e non so come andare avanti 2) Calcolare l'inverso di 101 mod 113 Mi esce come risultato 47 mod 113, penso sia corretto. 3) Siano A,B matrici mxm su un campo K tali che AB=BA. Dimostrare (A^n) *B=B*(A^). Risolta usando il principio d'induzione. Era la ...

Per "complessi" intendo che siano in $ CC\\ RR $. Esistono? Potete farmi degli esempi?

Ciao raga. Ho queste 5 opzioni: - New York - Toronto - Londra - Manila -Sydney Devo scegliere quale escludere delle 5. Ad occhio ho detto Manila, salvo poi ricordare che è la capitale delle Filippine mentre io pensavo ad altro. In ogni caso la risposta corretta è proprio Manila. Quale può essere un ragionamento logico che mi porta ad escluderla dalle altre opzioni? Va bene un esempio qualsiasi. Purtroppo non riesco ad arrivarci!

Chiedo un hint per risolvere il seguente esercizio:

Ciao a tutti, in un esercizio di Algebra 1 mi viene chiesto di trovare quali sono gli elementi invertibili di $(\mathbb{Z}_6, \cdot)$ e $(\mathbb{Z}_7, \cdot)$. Potreste dirmi se la soluzione è corretta? Mia soluzione $\mathbb{Z}_6, $ = {0,1,2,3,4,5}. Avendo come operazione la moltiplicazione "$\cdot $", l'elemento neutro sarà 1. 0 non ha inverso 1 ha come inverso se stesso 2 non ha inverso 3 non ha inverso 4 non ha inverso 5 ha 5 come inverso, essendo $5 \cdot 5 = 25 \equiv 1$ mod ...

Ciao! Volevo chiedere se esiste un modo più o meno standard di ragionare in situazioni come questa: In $Sym(n)$ sia $G=H<\gamma>$ con $H$ sottogruppo normale ciclico di $G$ e $\gamma$ una permutazione. Come si calcola $Z(G)$? L'inizio del mio ragionamento è: Siccome $G$ è il prodotto diretto di due gruppi ciclici, allora: $Z(G)=C_{G}(H)\cap C_{G}(<\gamma>)$, come posso continuare? (Per un esempio pratico: in $Sym(6)$, ...

$ G $ è un gruppo di ordine finito che ha un automorfismo "fixed point free" di ordine due, in simboli: $ |G|=n<oo $ $ EE sigma in Aut(G) $ tale che $ sigma(g)=g $ se e solo se $ g=1 $ e $ sigma @ sigma(g)=g\ \ \ \ AA g $ Si dimostri che $ G $ è abeliano.

Salve a tutti! avrei una domanda. Mi stavo esercitando con degli esercizi di calcolo combinatorio e mi sono imbattuto in questo problema. In quanti modi diversi posso distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse? E 5 palline uguali in 20 scatole diverse? Ora il primo punto l'ho risolto abbastanza facilmente facendo $ (24!) / ((24 - 20)! * 20!) $ Ma il secondo punto per risolverlo dovrei invertire la n con il k, quindi dovrei fare 24 su 5. Ma non ho capito perché nel secondo caso il k dovrebbe ...

Siano k e n interi tali che 1