Prodotti liberi e relazioni
Ho trattato il teorema di Seifert-Van Kampen e, per poterne dare una versione con il prodotto amalgamato, c'è stata una breve parentesi sui gruppi liberi[nota]Ho dato la seguente definizione, se $S$ è un insieme non vuoto si dice che la coppia $(F,\phi)$, con $F$ gruppo e $\phi:S\to F$ applicazione, è il gruppo libero generato da $S$ se vale la seguente proprietà universale: per ogni gruppo $G$ e per ogni applicazione $\psi:S\to G$ esiste un unico omomorfismo $\eta:F\to G$ tale che $\psi=\eta \phi$[/nota], prodotti liberi[nota]Ho dato la seguente definizione: se $F,G_{1},G_{2}$ sono gruppi e $\phi_{i}:G_{i}\to F$ sono omomorfismi per $i=1,2$, si dice che $(F,\phi_{1},\phi_{2})$ è il prodotto libero di $G_{1}$ e $G_{2}$ se vale la seguente proprietà universale: per ogni gruppo $G$ e per ogni coppia di omomorfismi $\psi_{i}:G_{i}\to G$, con $i=1,2$ esiste un unico omomorfismo $\eta:F\to G$ tale che $\psi_{i}=\eta \phi_{i}$ per ogni $i=1,2$[/nota] e relazioni[nota]Sia $F$ il prodotto libero di un insieme $S$ e $R$ un insieme di parole di $S$. Dico che due parole di $S$ sono $R$-equivalenti se si ottengono l'una dall'altra o per cancellazioni del tipo $x x^{-1}$ e $x^{-1}x$, con $x\in S$, oppure per cancellazione di elementi di $R\cup R^{-1}$. Il quoziente $G=F/N$, con $N=\langle R\rangle_{N}$ lo chiamo gruppo di presentazione e si scrive $G=\langle S|R\rangle$[/nota]. Vorrei chiedervi allora delle conferme.
Prima questione Per i gruppi liberi, abbiamo dimostrato che se $S$ è un insieme e $(F_{S},\phi)$ è il gruppo libero generato da $S$ allora $F_{S}$ è generato dall'immagine di $\phi(S)$.
Se $(G_{1}\star G_{2},\phi_{1},\phi_{2})$ è il prodotto libero dei gruppi $G_{1},G_{2}$, è vero che $G_{1}\star G_{2}$ è generato da $\phi_{1}(G_{1})$ e $\phi_{2}(G_{2})$?
Possibile risposta Chiamo $G\subseteq G_{1}\star G_{2}$ il sottogruppo generato da $\phi_{1}(G_{1})$ e $\phi_{2}(G_{2})$ e $j:G\to G_{1}\star G_{2}$ il morfismo di inclusione. Voglio mostrare che $j$ è surgettivo. Posso considerare
\[
G_{i}\xrightarrow{\phi_{i}}\phi_{i}(G_{i})\xrightarrow{j_{i}}G\xrightarrow{j} G_{1}\star G_{2} \quad i=1,2
\]
Per la proprietà universale dei prodotti liberi deve esistere un unico $\eta:G_{1}\star G_{2}\to G$ tale che
\[
j_{i}\phi_{i}=\eta j j_{i}\phi_{i} \quad i=1,2
\]
Da questo ottengo $\eta j$ è l'identità e $j$ dovrebbe essere surgettivo.
Seconda questione Ho letto che il prodotto libero è in un certo senso la generalizzazione del concetto di gruppo libero. Ma in che senso?
Possibile risposta Forse perché il prodotto libero di $G_{1}\cong G_{2}\cong \mathbb{Z}$ coincide con il gruppo libero a due generatori?
Terza questione L'insieme dei relatori di un gruppo non è unico: ma sono in qualche modo interscambili oppore noi siamo interessati al più piccolo possibile? Se $G$ è un gruppo generato da un suo sottoinsieme $S$, so che le immersioni $i:S\to G, j:S\to F_{S}$ danno luogo ad un omomorfismo (surgettivo?) $\eta:F_{S}\to G$ e che $F_{S}/\ker \eta\cong G$. Posso asserire che $G=\langle S|\{r:r\in \ker \eta\}\rangle $ è l'insieme dei relatori? (qui
ho le idee un po' confuse in realtà)
Grazie in anticipo
Prima questione Per i gruppi liberi, abbiamo dimostrato che se $S$ è un insieme e $(F_{S},\phi)$ è il gruppo libero generato da $S$ allora $F_{S}$ è generato dall'immagine di $\phi(S)$.
Se $(G_{1}\star G_{2},\phi_{1},\phi_{2})$ è il prodotto libero dei gruppi $G_{1},G_{2}$, è vero che $G_{1}\star G_{2}$ è generato da $\phi_{1}(G_{1})$ e $\phi_{2}(G_{2})$?
Possibile risposta Chiamo $G\subseteq G_{1}\star G_{2}$ il sottogruppo generato da $\phi_{1}(G_{1})$ e $\phi_{2}(G_{2})$ e $j:G\to G_{1}\star G_{2}$ il morfismo di inclusione. Voglio mostrare che $j$ è surgettivo. Posso considerare
\[
G_{i}\xrightarrow{\phi_{i}}\phi_{i}(G_{i})\xrightarrow{j_{i}}G\xrightarrow{j} G_{1}\star G_{2} \quad i=1,2
\]
Per la proprietà universale dei prodotti liberi deve esistere un unico $\eta:G_{1}\star G_{2}\to G$ tale che
\[
j_{i}\phi_{i}=\eta j j_{i}\phi_{i} \quad i=1,2
\]
Da questo ottengo $\eta j$ è l'identità e $j$ dovrebbe essere surgettivo.
Seconda questione Ho letto che il prodotto libero è in un certo senso la generalizzazione del concetto di gruppo libero. Ma in che senso?
Possibile risposta Forse perché il prodotto libero di $G_{1}\cong G_{2}\cong \mathbb{Z}$ coincide con il gruppo libero a due generatori?
Terza questione L'insieme dei relatori di un gruppo non è unico: ma sono in qualche modo interscambili oppore noi siamo interessati al più piccolo possibile? Se $G$ è un gruppo generato da un suo sottoinsieme $S$, so che le immersioni $i:S\to G, j:S\to F_{S}$ danno luogo ad un omomorfismo (surgettivo?) $\eta:F_{S}\to G$ e che $F_{S}/\ker \eta\cong G$. Posso asserire che $G=\langle S|\{r:r\in \ker \eta\}\rangle $ è l'insieme dei relatori? (qui
ho le idee un po' confuse in realtà)
Grazie in anticipo
Risposte
Visto che fortunatamente sembri familiare con la nozione di proprietà universale, alle prime due domande si risponde molto in fretta:
1. Il prodotto libero di due gruppi ha la proprietà universale del coprodotto nella categoria dei gruppi. Ciò significa che ha una proprietà duale a quella segnalata qui, e più precisamente che ogni coppia di omomorfismi di gruppi \(G\to K\) e \(H\to K\) ne induce uno, unico, \(G\ast H\to K\).[nota]Dopo pranzo cerco di scrivere di più a questo proposito.[/nota]
Dall'altra parte, il gruppo libero su un insieme \(S\) ha la proprietà universale che dici, e opportunamente definito diventa un funtore da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Grp}\), con la proprietà di mandare il coprodotto nel dominio (cioè l'unione disgiunta di insiemi di generatori) nel prodotto libero di gruppi; quindi non solo il prodotto libero di gruppi liberi è generato dall'unione dei generatori dei due addendi, ma è anche lui libero... sull'insieme che è unione disgiunta degli insiemi di generatori (è importante dire unione disgiunta, proprio perché \(\mathbb Z \ast \mathbb Z\) è libero su due generatori distinti).
2. Questa seconda domanda non so bene cosa voglia dire; probabilmente ho già risposto: il prodotto libero di gruppi liberi è anche lui libero.
Per quanto riguarda la terza domanda... ovviamente uno è interessato a presentare un gruppo col minor numero di generatori e relazioni possibili. Solo che a volte trovare questo insieme minimale è difficile. Quello che dici è vero: se \(G\) è generato da un insieme \(S\), l'inclusione \(S\to G\) dà luogo a un omomorfismo di gruppi \(F(S)\to G\); ora possono accadere almeno due cose: questa mappa è un isomorfismo, e allora \(G\) era libero su \(S\); oppure no, e allora ha un nucleo non banale, che dà le relazioni per cui devi quozientare \(F(S)\) per ottenere \(G\); questo è l'inizio di una storia piuttosto lunga.
1. Il prodotto libero di due gruppi ha la proprietà universale del coprodotto nella categoria dei gruppi. Ciò significa che ha una proprietà duale a quella segnalata qui, e più precisamente che ogni coppia di omomorfismi di gruppi \(G\to K\) e \(H\to K\) ne induce uno, unico, \(G\ast H\to K\).[nota]Dopo pranzo cerco di scrivere di più a questo proposito.[/nota]
Dall'altra parte, il gruppo libero su un insieme \(S\) ha la proprietà universale che dici, e opportunamente definito diventa un funtore da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Grp}\), con la proprietà di mandare il coprodotto nel dominio (cioè l'unione disgiunta di insiemi di generatori) nel prodotto libero di gruppi; quindi non solo il prodotto libero di gruppi liberi è generato dall'unione dei generatori dei due addendi, ma è anche lui libero... sull'insieme che è unione disgiunta degli insiemi di generatori (è importante dire unione disgiunta, proprio perché \(\mathbb Z \ast \mathbb Z\) è libero su due generatori distinti).
2. Questa seconda domanda non so bene cosa voglia dire; probabilmente ho già risposto: il prodotto libero di gruppi liberi è anche lui libero.
Per quanto riguarda la terza domanda... ovviamente uno è interessato a presentare un gruppo col minor numero di generatori e relazioni possibili. Solo che a volte trovare questo insieme minimale è difficile. Quello che dici è vero: se \(G\) è generato da un insieme \(S\), l'inclusione \(S\to G\) dà luogo a un omomorfismo di gruppi \(F(S)\to G\); ora possono accadere almeno due cose: questa mappa è un isomorfismo, e allora \(G\) era libero su \(S\); oppure no, e allora ha un nucleo non banale, che dà le relazioni per cui devi quozientare \(F(S)\) per ottenere \(G\); questo è l'inizio di una storia piuttosto lunga.
Grazie per la risposta.
Il mio libro (Topologia, Manetti) portava tra i suoi esercizi quello di dimostrare che il prodotto libero non è altro che il coprodotto nella categoria $Grp$: approfitto di qualche giorno libero per vedere più in dettaglio questo esercizio e abbonare questi primi due dubbi.
Il mio libro (Topologia, Manetti) portava tra i suoi esercizi quello di dimostrare che il prodotto libero non è altro che il coprodotto nella categoria $Grp$: approfitto di qualche giorno libero per vedere più in dettaglio questo esercizio e abbonare questi primi due dubbi.
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