Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

$ G $ è un gruppo di ordine finito che ha un automorfismo "fixed point free" di ordine due, in simboli: $ |G|=n<oo $ $ EE sigma in Aut(G) $ tale che $ sigma(g)=g $ se e solo se $ g=1 $ e $ sigma @ sigma(g)=g\ \ \ \ AA g $ Si dimostri che $ G $ è abeliano.

Salve a tutti! avrei una domanda. Mi stavo esercitando con degli esercizi di calcolo combinatorio e mi sono imbattuto in questo problema. In quanti modi diversi posso distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse? E 5 palline uguali in 20 scatole diverse? Ora il primo punto l'ho risolto abbastanza facilmente facendo $ (24!) / ((24 - 20)! * 20!) $ Ma il secondo punto per risolverlo dovrei invertire la n con il k, quindi dovrei fare 24 su 5. Ma non ho capito perché nel secondo caso il k dovrebbe ...

Siano k e n interi tali che 1

Buongiorno e grazie anticipamente a tutti per le risposte. Sto studiando da poco questo nuovo, per me, argomento: l'interpretazione astratta. Quindi sto studiando la parte relativa all'algebra lineare ( reticoli, connessioni di Galois). In particolare mi sono imbattuta in una dimostrazione da fare e non so se sto ragionando bene o meno. Dati $(C, <= ), (A, supe )$ e $\alpha: C-> A$ , $\gamma: A -> C$ (astrazione e concretizzazione). Vogliamo dimostrare che alpha $AA a in A$, ...

1) Sia \( n= p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k} \) e \( \sigma(n) \) la somma di tutti i divisori naturali di \(n \). Dimostra che \( \sigma(n) = \prod_{i=0}^{k} \frac{p_i^{\alpha_i +1} -1}{p_i -1} \) 2) Trova \( \sum_{d \mid n} \mu(d)\sigma(d) \), dove \( \mu \) è la funzione di Mobius. Il 1) l'ho fatto ma per il punto 2) non sono sicuro, vi sembra corretto: so che se \(n=1 \) allora \( \mu(1)=1 \) e \( \sigma(1)=1 \) pertanto ponendo \[ f(n):=\sum_{d \mid n} \mu(d)\sigma(d) \] Abbiamo \( ...

Forse sarà banale, ma mi tormenta un dubbio su un concetto elementare dei primordi dell'algebra a livello di scuola secondaria: perchè $ - x - = +$? Ossia: la moltiplicazione è definibile come "un'addizione abbreviata", quindi fare 3 x 4 significa o contare 3 volte 4 cose o viceversa, ottenendo sempre 12. Se mettiamo un segno + significa: contare 3 volte 4 numeri positivi o viceversa. Anche + x - è ben comprensibile: non consederando il segno +, sommo un certo numero di volte i numeri ...

salve, sto provando a risolvere questi esercizi: 1)Trovare un generatore di (Z8, ·) |Z8| = 8 quindi per il teorema di lagrange gli ordini dei suoi elementi sono 1,2,4,8 L'unico generatore che riesco a trovare è 8, è giusto ? 2)Trovare un generatore di (Z4*, ·) |Z4*|=3 quindi per il teorema di lagrange gli ordini dei suoi elementi sono 1,3 quindi l'unico generatore che sono riuscito a trovare è 3 ,giusto?

Salve, come posso fare il seguente esercizio: (1 5 7 6 3 4)^4 So che questo è uguale a (1 5 7 6 3 4)x(1 5 7 6 3 4)x(1 5 7 6 3 4)x(1 5 7 6 3 4) ma come si fa ora il prodotto delle varie permutazioni? Grazie.

Ciao, siano $S,T ne emptyset $ verificare che: $f:S to T$ la quale è iniettiva $<=> \ forall X,Y subseteq S$ risulta $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$ $to$, siano $X,Y subseteq S$ verifichiamo che $f(X-Y)=f(X)-f(Y)$, quindi: $subseteq$ sia $a in f(X-Y) <=> EE x in X-Y \:\ a=f(x) \ <=> \ EE x in X \ qquad \"e"\ qquad x notin Y \:\ a=f(x) <=> a in f(X) \ qquad \ "e" \ a notin f(Y) \<=>\ a in f(X)-f(Y)$ $supseteq$ per assurdo, sia $b in X$, $y in f(Y) \<=>\ EE a in Y \:\ y=f(a)$ essendo $f $ iniettiva si ha che $f(a)=f(b) to a=b$ allora $b in Y$ ma questo è assurdo, quindi $y notin f(Y)$ , quindi si ha la ...

Ciao. Ho bisogno di questo fatto per degli esercizi, e pensavo di dimostrarlo. Sia \( G \) un gruppo ciclico, e sia \( H \) un suo sottogruppo. Allora \( H \) è ancora ciclico. Dimostrazione. Sia \( p\colon \mathbb Z\to G \) la funzione potenza \( n\mapsto x^n \), dove \( G = \langle x\rangle \). L'immagine inversa \( p^*(H) \) del sottogruppo \( H \) è un sottogruppo di \( \mathbb Z \) contenente il nucleo \( \operatorname{Ker}p \), e ne posso perciò considerare il quoziente per questo ...

Buongiorno, Ho il seguente esercizio: In $NN_0$ si ponga $x<y <=> EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo. Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare. Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, ...

Ciao. Se ho un gruppo ciclico \( C \) di ordine \( 8 \) è \( x^8 = x^m \), dove \( m = k8 \), per qualche \( k\in\mathbb Z \). Questa relazione si può scrivere come \( (x^8)(x^k8)^{-1} = 1 \), come ogni relazione tra gli elementi di un gruppo. Detto ciò, vorrei far vedere che relazioni come quella lì sopra, cioè del tipo \( u = v \), hanno senso in un gruppo \( G \) (ossia, vale in \( G \) l'identità \( uv^{-1} = 1 \) e, soprattutto, non si contraddicono tra loro - \( aa^{-1}b = ab \) non ha ...

Avrei una domanda su una soluzione. Considera tutte le parole di lunghezza \(n \) e l'alfabeto \( \mathcal{A}=\{a,b,c\} \), qual'è la proporzione di parole dove la lettera "a" è usata un numero dispari di volte? La soluzione mi dice: Sia \( T(n,3) \) il numero di succesioni cicliche di lunghezza \(n\) in un alfabeto di \(3 \) lettere e \(\phi\) la funzione toziente di Eulero. Allora \[ T(n,3) = \frac{1}{n} \sum_{ d \mid n} \phi(n/d)3^d \] Sia \( A(n,\text{odd}) \) il numero di parole in cui ...

"arnett":L'altra mi viene più difficile.Prova a dimostrare che $|G'|$ non è divisibile per $p^a$ (dove $|G|=p^a q$ e $p$ non divide $q$). Cosa puoi dedurre sull'ordine di $G//G'$? Come si scrivono dei quozienti decenti qui sul forum? Su latex utilizzo pacchetti appositi, cosa che qui evidentemente non posso fare.Se usi i \$ allora puoi scrivere $G//N$ (G//N), se invece usi tex allora è ...

Vorrei un esempio di questo tipo di spazi 1. spazio affine ma non vettoriale 2. spazio affine, vettoriale ma non normato 3. spazio affine, vettoriale, normato ma non metrico 4. spazio affine, vettoriale, normato, metrico ma non topologico 5. spazio affine, vettoriale, normato, metrico e topologico Da quello che ho letto the empty set has an affine structure but not a vector space structure Ci sono altri esempi? Per il 5 punto possiamo considerare lo spazio euclideo ...

Ciao ragazzi ho dei dubbi riguardanti lo svolgimento di questi esercizi.. come al solito non ci sono soluzioni quindi resto sempre con il dubbio. La traccia è abbastanza semplice: Esercizio 1. In una fabbrica a ciclo continuo sono impiegati 42 operai, che lavorano facendo 3 turni di 7 unità ogni giorno. (a) In quanti modi si può formare un primo turno di partenza di un ipotetico primo giorno di lavoro? (b) Tra i 42 operai si deve scegliere uno preposto all'organizzazione dei turni, un ...

Buongiorno a tutti.faccio una semplice domanda teorica,alla quale non riesco a trovare risposta da nessuna parte. Riuscireste a farmi l' esempio pratico di un endomorfismo NON suriettivo? Non riesco inoltre a capire perché un endomorfismo é suriettivo se e solo se é suriettivo.

Ieri all esame di teoria dei gruppi c'era questa domanda: Sia \( S_5 \) il gruppo simmetrico su cinque lettere e \( P \) un suo \(p\)-sottogruppo di Sylow. Sia \( N_{S_5}(P) := \{ g \in S_5 : gPg^{-1} = P \}\) il normalizzatore di \(P \), il normalizzatore di \(P\) può essere di cardinalità dispari? Io sono arrivato ad escludere tutte le possibilità tranne una. Indicando con \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) il numero, rispettivamente, dei \(2\)-sottogruppi di Sylow, dei \(3\)-sottogruppi di Sylow e ...

Salve a tutti, preparandomi all'esame di matematica discreta, mi sono imbattuto in un esercizio sui polinomi, il seguente: Fissato il polinomio $ p(x)=2x^2+x+2 in Z_5[x] $ Si dica se l'elemento $ [x^3+3x+1]in Z_5[x]//(p(x)) $ È invertibile o è un divisore dello zero, inoltre se ne determini l'inverso o un co-divisore di zero, coerentemente con la risposta data. Il mio primo pensiero di come approcciarmi a questo esercizio è stato quello di sostituire l'elemento all'interno del polinomio, così da ottenere: ...

Ciao a tutti, ho un problema su questo esercizio. Si considerino le seguenti permutazioni σ = (2345)◦(35)◦(479)◦(218) τ = (48)◦(23)◦(267)◦(436)◦(2357). Si determini la decomposizione di σ e τ in cicli disgiunti. Ora, come la determino la decompsizione? vi prego, aiutatemi ho l'esame a breve, e se avete anche dei file o appunti sulle permutazioni sarebbe l'ideale