Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao. Ho bisogno di questo fatto per degli esercizi, e pensavo di dimostrarlo.
Sia \( G \) un gruppo ciclico, e sia \( H \) un suo sottogruppo. Allora \( H \) è ancora ciclico.
Dimostrazione. Sia \( p\colon \mathbb Z\to G \) la funzione potenza \( n\mapsto x^n \), dove \( G = \langle x\rangle \). L'immagine inversa \( p^*(H) \) del sottogruppo \( H \) è un sottogruppo di \( \mathbb Z \) contenente il nucleo \( \operatorname{Ker}p \), e ne posso perciò considerare il quoziente per questo ...
Buongiorno,
Ho il seguente esercizio:
In $NN_0$ si ponga $x<y <=> EE n in N \ : \ y=x+n.$ La $<$ è un ordinamento di $NN_0$ detto l'ordinamento usuale di $NN_0$, inoltre $<$ è un buon ordine. $NN_0$ è primo di massimo e quindi $(NN_0, <)$ non è induttivo.
Tutto quello riportato in corsivo, è quello che dovrei provare.
Quindi la prima cosa che mi chiede di provare, che $<$ è un ordinamento di $NN_0$, ...
Ciao. Se ho un gruppo ciclico \( C \) di ordine \( 8 \) è \( x^8 = x^m \), dove \( m = k8 \), per qualche \( k\in\mathbb Z \). Questa relazione si può scrivere come \( (x^8)(x^k8)^{-1} = 1 \), come ogni relazione tra gli elementi di un gruppo. Detto ciò, vorrei far vedere che relazioni come quella lì sopra, cioè del tipo \( u = v \), hanno senso in un gruppo \( G \) (ossia, vale in \( G \) l'identità \( uv^{-1} = 1 \) e, soprattutto, non si contraddicono tra loro - \( aa^{-1}b = ab \) non ha ...
Avrei una domanda su una soluzione.
Considera tutte le parole di lunghezza \(n \) e l'alfabeto \( \mathcal{A}=\{a,b,c\} \), qual'è la proporzione di parole dove la lettera "a" è usata un numero dispari di volte?
La soluzione mi dice:
Sia \( T(n,3) \) il numero di succesioni cicliche di lunghezza \(n\) in un alfabeto di \(3 \) lettere e \(\phi\) la funzione toziente di Eulero. Allora
\[ T(n,3) = \frac{1}{n} \sum_{ d \mid n} \phi(n/d)3^d \]
Sia \( A(n,\text{odd}) \) il numero di parole in cui ...
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Studente Anonimo
17 gen 2020, 20:33
"arnett":L'altra mi viene più difficile.Prova a dimostrare che $|G'|$ non è divisibile per $p^a$ (dove $|G|=p^a q$ e $p$ non divide $q$). Cosa puoi dedurre sull'ordine di $G//G'$?
Come si scrivono dei quozienti decenti qui sul forum? Su latex utilizzo pacchetti appositi, cosa che qui evidentemente non posso fare.Se usi i \$ allora puoi scrivere $G//N$ (G//N), se invece usi tex allora è ...
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Studente Anonimo
17 gen 2020, 19:18
Vorrei un esempio di questo tipo di spazi
1. spazio affine ma non vettoriale
2. spazio affine, vettoriale ma non normato
3. spazio affine, vettoriale, normato ma non metrico
4. spazio affine, vettoriale, normato, metrico ma non topologico
5. spazio affine, vettoriale, normato, metrico e topologico
Da quello che ho letto
the empty set has an affine structure but not a vector space structure
Ci sono altri esempi?
Per il 5 punto possiamo considerare lo spazio euclideo ...
Ciao ragazzi ho dei dubbi riguardanti lo svolgimento di questi esercizi.. come al solito non ci sono soluzioni quindi resto sempre con il dubbio. La traccia è abbastanza semplice:
Esercizio 1.
In una fabbrica a ciclo continuo sono impiegati 42 operai, che lavorano facendo 3 turni di 7 unità ogni giorno.
(a) In quanti modi si può formare un primo turno di partenza di un ipotetico primo giorno di lavoro?
(b) Tra i 42 operai si deve scegliere uno preposto all'organizzazione dei turni, un ...
Buongiorno a tutti.faccio una semplice domanda teorica,alla quale non riesco a trovare risposta da nessuna parte.
Riuscireste a farmi l' esempio pratico di un endomorfismo NON suriettivo?
Non riesco inoltre a capire perché un endomorfismo é suriettivo se e solo se é suriettivo.
Ieri all esame di teoria dei gruppi c'era questa domanda:
Sia \( S_5 \) il gruppo simmetrico su cinque lettere e \( P \) un suo \(p\)-sottogruppo di Sylow. Sia \( N_{S_5}(P) := \{ g \in S_5 : gPg^{-1} = P \}\) il normalizzatore di \(P \), il normalizzatore di \(P\) può essere di cardinalità dispari?
Io sono arrivato ad escludere tutte le possibilità tranne una. Indicando con \(n_2\),\(n_3\) e \(n_5 \) il numero, rispettivamente, dei \(2\)-sottogruppi di Sylow, dei \(3\)-sottogruppi di Sylow e ...
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Studente Anonimo
16 gen 2020, 14:10
Salve a tutti, preparandomi all'esame di matematica discreta, mi sono imbattuto in un esercizio sui polinomi, il seguente:
Fissato il polinomio
$ p(x)=2x^2+x+2 in Z_5[x] $
Si dica se l'elemento
$ [x^3+3x+1]in Z_5[x]//(p(x)) $
È invertibile o è un divisore dello zero, inoltre se ne determini l'inverso o un co-divisore di zero, coerentemente con la risposta data.
Il mio primo pensiero di come approcciarmi a questo esercizio è stato quello di sostituire l'elemento all'interno del polinomio, così da ottenere:
...
Ciao a tutti, ho un problema su questo esercizio.
Si considerino le seguenti permutazioni
σ = (2345)◦(35)◦(479)◦(218)
τ = (48)◦(23)◦(267)◦(436)◦(2357).
Si determini la decomposizione di σ e τ in cicli disgiunti.
Ora, come la determino la decompsizione?
vi prego, aiutatemi ho l'esame a breve, e se avete anche dei file o appunti sulle permutazioni sarebbe l'ideale
Buonasera,
Se considero la relazione $ le $ in $NN$ definita:
$x le y <=> EE n in NN $ tale che $y=x^n$
provare che $le$ è una relazione d'ordine non totale, e che $(NN, le)$ è privo di minimo e di massimo, inoltre
determinare gli elementi minimali di $(NN,le)$.
Per provare che $le$ è una relazione d'ordine non totale, semplicemente devo esibire una coppia di elementi $x,y$ in $NN$ che non siano ...
a) Dimostra il Lemma di Ping-Pong.
Sia \(G \) un gruppo che agisce su un insieme \( X \) e siano \( g_1, \ldots, g_k \in G \) di ordine infinito, per \( k \geq 2 \). Supponiamo che esistono dei sottoinsiemi non vuoti e disgiunti \( X_1, \ldots, X_k \) di \( X \) tale che \( g_i^nX_j \subseteq X_i \) per tutti \( i \neq j \), e per tutti gli \( n\in \mathbb{Z}^* \). Allora il sottogruppo
\( H = \left< g_1, \ldots, g_k \right> < G \) è libero di base \( \{ g_1, \ldots, g_k \} \).
Hint: Dimostra ...
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Studente Anonimo
14 gen 2020, 03:51
Io non ho ben capito cos'è un gruppo abeliano libero.
Se prendo \( X \) un insieme, e \( \{ A_x : x \in X \} \) una collezione di gruppi abeliani (finiti?). Il gruppo abeliano libero è la somma diretta \(A:= \bigoplus_{x \in X} A_x \).
Oppure è la somma diretta (quindi non necessariamente tutti gli \(x \in X \)) tale che \( \operatorname{Hom}(A,B) \cong \prod_{x \in X} \operatorname{Hom}(A_x,B) \) per tutti i gruppi \( B \) abeliani?
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Studente Anonimo
13 gen 2020, 22:15
Sia \( F \) un gruppo libero di base \( X \), dove \( X \) è un insieme.
a) Per \( x \in X \) verifica che l'applicazione \( s_x : F \mathbb{Z} \) che invia una parola ridotta \(w \in F \) sulla somma dei suoi esponenti dei termini \(x \) che appaiono in \( w \) è un omomorfismo di gruppo suriettivo.
b) Dimostra che se \( w \in F \) allora \( w \in [F,F] \) se e solo se \( s_x(w)=0 \) per ogni \( x \in X \)
c) Dimostra che se \( X \) è di rango \( \left| X \right| =n > 2 \) allora \( F/ ...
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Studente Anonimo
13 gen 2020, 21:37
Buongiorno, mi sono imbattuto in un esercizio, sicuramente per voi semplice ma che mi ha dato parecchio da pensare.
Sia f :A $\rightarrow $ B una funzione.Dimostrare che per ogni coppia S,T di sottoinsiemi di A vale l'eguaglianza :
f(S$\bigcap$ T) = f(S) $\bigcap$ f(T)
se e solo se f e' ima finzione iniettiva.
Sia $f:A\toB$ una funzione. Dimostrare che per ogni coppia $S,T$ di sottoinsiemi di A vale l'uguaglianza $f(S \cap T) = f(S) \cap f(T) $ se e solo se $f$ è iniettiva.
Tentativo
L'idea è quella di procedere per assurdo con $f$ iniettiva assumendo $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T)$ per giungere ad una contraddizione, ossia f non iniettiva. Se $f(S \cap T) \ne f(S) \cap f(T) $ allora esiste un elemento $\alpha$ tale che $\alpha \notin f(S \cap T)$ oppure $ \alpha \notin f(S) \cap f(T) $. Da qui poi non saprei ...
L'esercizio d'esame mi dava:
$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),(1,7),(7,1),(4,7),(7,4)\}$
e mi chiedeva di dimostrare che $R$ è una relazione di equivalenza su $[7]$ e di calcolare $[7] \/R$.
Non sono riuscita a trovare nessun esempio simile e non so da dove iniziare.
Grazie per l'aiuto.
sapete dirmi perchè il MCD e il mcm si fanno così cioè con le regole della scuola media:
mcm: prodotto dei fattori primi non comuni e comuni presi una sola volta con l'esponente più alto
MCD: prodotto dei fattori primi comuni considerati una sola volta con l'esponente più piccolo
[xdom="gugo82"]Corretta la dimensione del carattere.
La prossima volta che urli, chiudo il thread.[/xdom]
Salve ragazzi sono alle prese con il seguente esercizio:
Si consideri l’insieme $A = {1, 2, 3, 4, 5}$.
Quante sono le possibili relazioni di equivalenza $R$ su $A$ tali che $1 R 5, 3 R 4$ e $5 \cancel{R}4$ ?
So che le possibili relazioni di equivalenza coincidono con il numero di partizioni dell'insieme.
Ma come si procede in questo caso dove ho anche delle limitazioni alle possibili relazioni?
Ringrazio anticipatamente
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