E' $\{n \in \mathbb{N}| ZZ_n^\times \cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}\}=\mathbb{N}$?
Buongiorno,
credo che la cosa sia banale, ma ho poca dimestichezza con il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$. Definiamo $\mathcal{N}:=\{n \in \mathbb{N}| ZZ_n^\times \cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}\}$, dove $\varphi$ è la funzione di Eulero. Per $n=2,3,4,5,6$ mi sembra di aver costruito esplicitamente degli isomorfismi, per cui sarei tentato di concludere che $\mathcal{N}=\mathbb{N}$. E' proprio così?
credo che la cosa sia banale, ma ho poca dimestichezza con il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$. Definiamo $\mathcal{N}:=\{n \in \mathbb{N}| ZZ_n^\times \cong \mathbb{Z}_{\varphi(n)}\}$, dove $\varphi$ è la funzione di Eulero. Per $n=2,3,4,5,6$ mi sembra di aver costruito esplicitamente degli isomorfismi, per cui sarei tentato di concludere che $\mathcal{N}=\mathbb{N}$. E' proprio così?
Risposte
No, non tutti i gruppi moltiplicativi degli anelli \(\mathbb{Z}_n\) sono ciclici. Il più piccolo controesempio è \(\mathbb{Z}_8\): il suo gruppo moltiplicativo è isomorfo a \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\). https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplic ... s_modulo_n
1. Un prodotto diretto di due o più gruppi di ordine pari non può essere ciclico (perché?).
2. Inoltre [tex]\varphi(n)[/tex] è pari per ogni $n ge 3$ (perché?).
3. Inoltre se A e B sono anelli commutativi unitari allora [tex]U(A \times B) = U(A) \times U(B)[/tex] dove $U(A)$ indica il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $A$ (perché?).
Mettendo insieme le cose che ho detto sopra dovresti dedurre facilmente che $U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n$ è diviso da due primi dispari distinti.
4. Ora, si dimostra che se $p$ è un primo dispari e $n$ è una potenza di $p$ allora $U(ZZ_n)$ è ciclico, e che $U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n=2^k$ con $k ge 3$.
Usando questo e le cose che ho detto sopra dovresti riuscire a trovare tutti gli $n$ tali che $U(ZZ_n)$ è ciclico (se vuoi sapere chi sono la pagina wiki citata da vict lo dice).
2. Inoltre [tex]\varphi(n)[/tex] è pari per ogni $n ge 3$ (perché?).
3. Inoltre se A e B sono anelli commutativi unitari allora [tex]U(A \times B) = U(A) \times U(B)[/tex] dove $U(A)$ indica il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $A$ (perché?).
Mettendo insieme le cose che ho detto sopra dovresti dedurre facilmente che $U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n$ è diviso da due primi dispari distinti.
4. Ora, si dimostra che se $p$ è un primo dispari e $n$ è una potenza di $p$ allora $U(ZZ_n)$ è ciclico, e che $U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n=2^k$ con $k ge 3$.
Usando questo e le cose che ho detto sopra dovresti riuscire a trovare tutti gli $n$ tali che $U(ZZ_n)$ è ciclico (se vuoi sapere chi sono la pagina wiki citata da vict lo dice).
Intanto grazie ad entrambi. Conto di tornare sui 4 punti di Martino quanto prima.
Intanto 1 e 2...
Perchè $C_m \times C_n$ è ciclico se e solo se $(m,n)=1$; quindi, se $m$ e $n$ sono pari, è $(m,n)\ge 2$, e $C_m \times C_n$ non è ciclico.
Perchè $n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k} \Rightarrow$($p_1^{\alpha_1},...,p_k^{\alpha_k}$ sono a due a due [co]primi) $\varphi(n)=\varphi(p_1^{\alpha_1})...\varphi(p_k^{\alpha_k})=$(i $p_i$ sono primi) $(p_1-1)...(p_k-1)p_1^{\alpha_1-1}...p_k^{\alpha_k-1}$; se $n=2^K$, $K \ge 2$, allora $\varphi(n)=2^{K-1}$ è pure una potenza di $2$ e quindi pari; altrimenti, per $n \ge 3$, almeno uno dei fattori $(p_i-1)$ è diverso da $1$, e quindi pari. Pertanto, in ogni caso ($n \ge 3$) $\varphi(n)$ è pari.
"Martino":
1. Un prodotto diretto di due o più gruppi di ordine pari non può essere ciclico (perché?).
Perchè $C_m \times C_n$ è ciclico se e solo se $(m,n)=1$; quindi, se $m$ e $n$ sono pari, è $(m,n)\ge 2$, e $C_m \times C_n$ non è ciclico.
"Martino":
2. Inoltre $φ(n)$ è pari per ogni $n≥3$ (perché?).
Perchè $n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k} \Rightarrow$($p_1^{\alpha_1},...,p_k^{\alpha_k}$ sono a due a due [co]primi) $\varphi(n)=\varphi(p_1^{\alpha_1})...\varphi(p_k^{\alpha_k})=$(i $p_i$ sono primi) $(p_1-1)...(p_k-1)p_1^{\alpha_1-1}...p_k^{\alpha_k-1}$; se $n=2^K$, $K \ge 2$, allora $\varphi(n)=2^{K-1}$ è pure una potenza di $2$ e quindi pari; altrimenti, per $n \ge 3$, almeno uno dei fattori $(p_i-1)$ è diverso da $1$, e quindi pari. Pertanto, in ogni caso ($n \ge 3$) $\varphi(n)$ è pari.
Ok
Provo ad aggiungere un altro pezzo. Qui ho più dubbi che sui punti 1 e 2.
\begin{alignat*}{1}
(a,b)\in U(A\times B) &\Leftrightarrow \exists (c,d) \in A \times B \mid (a,b)(c,d)=(ac,bd)=(1_A,1_B) \\
&\Leftrightarrow \exists c \in A, d \in B \mid (ac=1_A) \wedge (bd=1_B) \\
&\Leftrightarrow a \in U(A) \wedge b \in U(B) \\
&\Leftrightarrow (a,b) \in U(A) \times U(B)
\end{alignat*}
da cui $U(A \times B)=U(A)\times U(B)$.
In tal caso, $n=mpq$ per opportuni primi distinti $p$ e $q$, con $p,q \ge 3$; poichè $(mp,q)=1$, è $ZZ_n \cong ZZ_{mp}\times ZZ_q$, da cui $U(ZZ_n) \cong U(ZZ_{mp})\times U(ZZ_q)$; ma $U(ZZ_{mp})$ e $U(ZZ_q)$ hanno entrambi ordine pari e quindi il loro prodotto diretto, ovvero $U(ZZ_n)$, non è ciclico (e quindi non è isomorfo a $ZZ_{\varphi(n)}$).
"Martino":
3. Inoltre se $A$ e $B$ sono anelli commutativi unitari allora $U(A×B)=U(A)×U(B)$ dove $U(A)$ indica il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di $A$ (perché?).
\begin{alignat*}{1}
(a,b)\in U(A\times B) &\Leftrightarrow \exists (c,d) \in A \times B \mid (a,b)(c,d)=(ac,bd)=(1_A,1_B) \\
&\Leftrightarrow \exists c \in A, d \in B \mid (ac=1_A) \wedge (bd=1_B) \\
&\Leftrightarrow a \in U(A) \wedge b \in U(B) \\
&\Leftrightarrow (a,b) \in U(A) \times U(B)
\end{alignat*}
da cui $U(A \times B)=U(A)\times U(B)$.
"Martino":
$U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n$ è diviso da due primi dispari distinti.
In tal caso, $n=mpq$ per opportuni primi distinti $p$ e $q$, con $p,q \ge 3$; poichè $(mp,q)=1$, è $ZZ_n \cong ZZ_{mp}\times ZZ_q$, da cui $U(ZZ_n) \cong U(ZZ_{mp})\times U(ZZ_q)$; ma $U(ZZ_{mp})$ e $U(ZZ_q)$ hanno entrambi ordine pari e quindi il loro prodotto diretto, ovvero $U(ZZ_n)$, non è ciclico (e quindi non è isomorfo a $ZZ_{\varphi(n)}$).
"luca69":Questo non lo puoi dire. $q$ può dividere $m$.
$(mp,q)=1$
Già. Allora, la forma più generale di un intero diviso da due primi distinti $p$ e $q$ è: $n=mp^\alphaq^\beta$, con $\alpha,\beta\ge 1$ e $p,q$ che non dividono $m$. A questo punto avrei $(m,p^\alpha q^\beta)=1$ e da qui in poi ragionerei come prima.
Ok
Grazie per la guida. Magari tornerò per il punto 4...
"Martino":
si dimostra che se $p$ è un primo dispari e $n$ è una potenza di $p$ allora $U(ZZ_n)$ è ciclico
Basterebbe dimostrare che se $p$ è un primo dispari e $k \ge 1$, allora $\exists a \in U(ZZ_{p^k})$ tale che $(a^m,p^k)=1, \forall m=1,...,\varphi(p^k)$. Ad esempio, per $p=3$ e $k=2$ è $a=5$. Detto questo, però, non so come continuare.
"Martino":
$U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n=2k$ con $k≥3$.
Qui non capisco: se $k$ è dispari, allora $(2,k)=1$ e quindi $ZZ_{2k}\cong ZZ_2 \times ZZ_k$, da cui $U(ZZ_{2k})\cong U(ZZ_2) \times U(ZZ_k) \cong U(ZZ_k)$; ma, per il punto precedente, nel caso particolare di $k$ potenza di un primo dispari $U(ZZ_k)$ è ciclico, no?
"luca69":Basterebbe dimostrare che se $p$ è un primo dispari e $k \ge 1$, allora $\exists a \in U(ZZ_{p^k})$ tale che $(a^m,p^k)=1, \forall m=1,...,\varphi(p^k)$. Ad esempio, per $p=3$ e $k=2$ è $a=5$. Detto questo, però, non so come continuare.[/quote]E' un teorema non facile da dimostrare, perfino per il caso $k=1$. Non ti ho suggerito di dimostrarlo, ti ho solo detto che è vero. Forse l'avete visto a lezione o l'hai visto dimostrato su un libro, questo non posso saperlo.
[quote="Martino"]si dimostra che se $p$ è un primo dispari e $n$ è una potenza di $p$ allora $U(ZZ_n)$ è ciclico
"Martino":Osserva bene: ho scritto $2^k$, non $2k$.
$U(ZZ_n)$ non è ciclico se $n=2^k$ con $k≥3$.
"Martino":Basterebbe dimostrare che se $ p $ è un primo dispari e $ k \ge 1 $, allora $ \exists a \in U(ZZ_{p^k}) $ tale che $ (a^m,p^k)=1, \forall m=1,...,\varphi(p^k) $. Ad esempio, per $ p=3 $ e $ k=2 $ è $ a=5 $. Detto questo, però, non so come continuare.[/quote]E' un teorema non facile da dimostrare, perfino per il caso $ k=1 $. Non ti ho suggerito di dimostrarlo, ti ho solo detto che è vero. Forse l'avete visto a lezione o l'hai visto dimostrato su un libro, questo non posso saperlo.[/quote]
[quote="luca69"][quote="Martino"]si dimostra che se $ p $ è un primo dispari e $ n $ è una potenza di $ p $ allora $ U(ZZ_n) $ è ciclico
Ah ok! (no, l'ultima lezione che ho seguito su qualcosa risale a oltre 1/4 di secolo fa...)
"Martino":Osserva bene: ho scritto $ 2^k $, non $ 2k $.[/quote]
[quote="Martino"]$ U(ZZ_n) $ non è ciclico se $ n=2^k $ con $ k≥3 $.
Hai ragione! Ho pasticciato io col Quote/$.
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