Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti! Sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Si consideri l'operazione definita da $ x** y=x+y+3 $ . Dimostrare che $ (Z,**) $ è un gruppo, esibire l'elemento neutro e l'elemnto inverso. Dare almeno un esempio di sottogruppo di $ (Z,**) $. Si tratta di un sottogruppo normale? Si tratta di un sottogruppo ciclico? Giustificare le risposte.
Allora se non sbaglio l'elemento neutro è -3. Infatti $ -3**y=-3+y+3=y $ . L'elemento inverso è -6-y, infatti ...
Mi si chiede di trovare tutti gli omomorfismi d'anelli \( f: A \to B \) e nei seguenti quattro casi non ho capito alcune cose. Qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi il motivo?
1) \( A= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) e \( B= \mathbb{Z} \).
Soluzioni:
Non esistono omomorfismi d'anelli poiché \( n \cdot 1 = 0 \).
Dubbio:
Non capisco il motivo onestamente, se esiste \(f \) allora \( f(1)=1 \) e \( f(0) = 0 \) e in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0 = n \) pertanto \( f(0)=f(n \cdot 1)= ...
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Studente Anonimo
2 mar 2020, 14:05
Determinare se \( B= \{ 0,2,4,\ldots, 10 \} \) è un sottoanello, ideale destro, ideale sinistro e/o ideale bilatero di \( \mathbb{F}_{11} \).
Io direi che non è un sottoanello poiché \( (B,+) \) non è un sottogruppo poiché l'inverso additivo di ciascun elemento di \(B \) non è dentro \( B \). Siccome l'inverso di \( 10 \) ad esempio è \(1 \) che non è dentro \(B\).
Mentre direi che non è un ideale ne destro ne sinistro e dunque nemmeno bilatero poiché ad esempio \( 6 \cdot 2= 2 \cdot 6 = 1 ...
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Studente Anonimo
2 mar 2020, 19:27
Salve, ho dei dubbi su questo esercizio: "Dimostrare che ogni insieme di 76 interi positivi minori o uguali a 100 contiene almeno 4 numeri consecutivi." Purtroppo non saprei se per risolvere occorre conoscere delle proprietà riguardanti i numeri naturali, ma mi basterebbe avere qualche consiglio o indizio per risolverlo per conto mio. Grazie in anticipo.
Buonasera a tutti! Ho bisogno del vostro aiuto e spero di essere nella sezione giusta.
All'ultimo appello dell'esame di topologia c'era un esercizio in cui si doveva calcolare il gruppo fondamentale di \( \mathbb{R^4} \) meno gli assi coordinati.
Ho cercato di dimostrare che \( \mathbb{R^4} \) meno gli assi si retrae fortemente per deformazione su Y= { $ S^3 $ \ 8 punti} considerando $ r:Xrarr Y $ che ad (x,y,z,w) associa (x,y,z,w)/||(x,y,z,w)|| e con \( ...
mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Decomporre f = x4 − ̄4 ∈ Z5[x] come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z5[x].
(i) In Z5[x], f ha fattori irriducibili di grado 3?
(ii) In generale, se un polinomio di grado 4 a coefficienti in un campo e privo di radici, questo
polinomio pu`o avere un fattore di grado 3?
(iii) Quanti sono i polinomi di grado 5 in Z5[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?
In "Abstract algebra" di Dummit a pag. 82 si danno due definizioni di sottogruppo normale e si dicono essere equivalenti ma senza dimostrazione:
1) $ gNg^-1=N \ \ \ \ AA gin G $
2) $ gNg^-1subN \ \ \ \ AA gin G $
La (1) implica banalmente la (2).
$ h->ghg^-1 $ è un isomorfismo di $ N $ in $gNg^-1$ quindi nel caso in cui $ N $ sia finito si ha $ gNg^-1subN => gNg^-1=N $. Quindi la (2) implica la (1). Però se $ N $ è infinito lo stesso argomento non vale in quanto potrebbe ...
Salve, sul libro mi viene fatto un esempio di parte stabile generata da un sigleton, mi spiego meglio:
"Sia $m in ZZ$ e $m ne 0$. Rispetto all'ordinaria addizione in $ZZ$ la parte stabile generata da ${m}$ è il sottoinsieme ${mn \|\ n in NN}$."
Mi verrebbe da dire è ovvio, ma se devo dimostrarlo ho qualche difficolta, comunque vi riporto quello che sono riuscito a fare, quindi chiamo la parte stabile generata da ${m}$ con ...
Nel polinomio generico di 2 grado $x^2+bx+c$ ho che il suo gruppo di Galois è $S_2$,ed avremo $Q(sqrt(Delta)) $ come campo di spezzamento, quindi avremo la corrispondenza $Q->S_2$ed $Q(sqrt(Delta)) ->(e)$, ;
Nel caso di un polinomio generico di terzo grado, avente quindi come gruppo di Galois $S_3$, quale sarà la corrispondenza?
Sezionando il cono $x^2+y^2=z^2$ con un piano $z=mx+1$ , se $0<m<1$ si dovrebbe ottenere una ellisse. Come si fa a scrivere l'equazione di questa curva in un sistema di riferimento contenuto nel piano, in modo da riconoscere che è una ellisse trovarne i parametri ( semiassi, centro ecc...) ? E quale sistema di riferimento si deve scegliere per avere l'equazione più semplice ?
Let $\mathcal(T)_alpha$ be a family of topologies on $X$. Show that there is a unique smallest
topology on $X$ containing all the collections $\mathcal(T)_alpha$, and a unique largest
topology contained in all $\mathcal(T)_alpha$ .
L'esercizio proviene dal "Topology. Second Edition" di Munkres pag 83 es. 4b.
Per adesso non sono andato molto lontano, ho soltanto definito una base che genera una topologia che contiene l'unione di tutte le ...
Buonasera, se considero un'operazione interna $**$ in $ZZ$ definita $(x**y)=x^2+y-1$, risulta essere non commutativa in effetti per $x=0$ e $y=2$ risulta $0**2=1$ e $2**0=3$,pertanto non è commutativa. Invece per $x=1 $ e $y=0$ si ha $1**0=0=0**1$ cioè $1,0$ sono permutabili.
Ora se volessi determinare gli elementi centrali in $ZZ$, dove: $x in S$ dicesi ...
"Nel gruppo simmetrico S5 è assegnata la permutazione:
σ = (1 4)(3 5)(4 3 2 5).
Determinare l’ordine, la parità di σ e tutti i sottogruppi di $<σ>$. Definire almeno due isomorfismi dal gruppo ciclico $<σ>$ al gruppo $(Z_n,+)$, per un determinato $n > 1$."
Questo è il testo dell'esercizio, non ho problemi fino all'ultima richiesta, ovvero quella di "Definire almeno due isomorfismi...". L'unico isomorfismo che riesco a trovare è $f(σ^x)=x$ da ...
Salve a tutti,
Ho questo esercizio da fare ma sono piuttosto confuso (vedi foto).
Non mi spaventa perché a vederlo così finché si tratta di fare dei calcoli (anche se pesanti )non ho problemi.
Ciò che mi spiazza è che non so di cosa si parli...Per me le permutazioni avevano a che fare con la statistica, non con questo...
Lasciando stare la teoria, potete dirmi che cosa devo fare ? Che operazioni svolgere? Anche senza che facciate i conti, tipo : fai il prodotto tra matrici, ...
Salve a tutti ragazzi potreste darmi una mano a capire come risolvere il seguente esercizio?
Consideriamo lo spazio vettoriale V = Matr(2,2(R)) costituito delle matrici 2 x 2 a
coefficienti reali, e sia F:V---->V l'applicazione lineare che manda le matrici della base standard di V
$ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) :}) $ $ ({: ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) :}) $
rispettivamente in:
$ ({: ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) :} )$ $ ({: ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ) :} )$ $ ({: ( 1 , a ),( 3, 4) :} )$
per quali valori del parametro a, l'applicazione ...
Salve a tutti, ho appena finito di fare un'esame e volevo un chiarimento sul seguente quesito.
dato il seguente polinomio: $ x^4-8x^3+25x^2-36x+20 $ Calcolare le radici razionali; La sua fattorizzazione in R,C e Z(5)
Ora premetto di essere andato moolto a logica, ho pensato "bhe è di quarto grado, quindi sarà dato da una moltiplicazione di due polinomi di secondo grado", ho provato con $(x-2)^2(x-2)^2 $ e ho notato che mi sono avvicinato molto,quindi ho semplicemente aggiunto 1 a $(x^2-4x+4)$, ...
Ciao. Oggi all'esame di algebra ho cannato questo esercizio. Siano \( G \) è un gruppo finito, \( H\leqq G \) un suo sottogruppo e \( \phi \) la funzione \( G\to\left\{gH\right\}_{g\in G} \) che mappa \( g\in G \) con la classe laterale \( gH \). Se \( \psi \) è un'inversa destra di \( \phi \)
1. provare che \( g^{-1}(\psi\circ\phi)(g) \) sta in \( H \) per ogni \( g\in G \);
2. provare che \( \psi \) è iniettiva; (questo è ok, lo metto per tenermi la traccia ché non ho il foglio sotto mano)
3. ...
Salve a tutti sto cercando di dimostrare che $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$ vi chiedo gentilmente se va bene.
Sia $ x in (A \cup B) \cap C \Rightarrow x in A \cup B \wedge (x in C)$ (def. di intersezione)
$\Rightarrow (x in A \vee x in B) \wedge (x in C) $
$\Rightarrow(x in A \wedge x in C) \vee (x in B \wedge x in C)$ (def. di proprietà distributiva)
$\Rightarrow x in A\cap C \vee x in B\cap C$
Possiamo quindi distinguere due casi:
$x in A\cap C \Rightarrow A\cup (B \cap C)$
$x in B\cap C \Rightarrow x in A\cup (B \cap C)$
In entrambi i casi abbiamo $x in A\cup (B \cap C)$
Pertanto $(A \cup B) \cap C \subseteq A\cup (B \cap C)$
Il polinomio di terzo grado $x^3-1$ ha una radice reale $x_1=1$ e due complesse coniugate, nel gruppo degli automorfismi la radice reale appartiene al campo fisso $Q$ quindi negli automorfismi non può essere scambiata in alcun modo con una delle radici complesse, che invece sono interscambiali tra di loro, pertanto il gruppo di Galois è $S_2$, giusto?
Nel caso invece del polinomio $x^3-2$ abbiamo sempre una radice reale ...
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